Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 5 из 11)

Ответ.

1.10 Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач

Пример 1. Найти наибольшее из значений z, для которых существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению

Решение.

Так как нужно найти наибольшее значение z, то в левой части равенства будем последовательно выделять полные квадраты, сначала относительно x, затем относительно y. (Конечно, можно сначала выделить полный квадрат относительно y, затем относительно x).

Итак,

Обозначим

и соберем подобные члены

Обозначим

Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то правая часть должна быть неотрицательной:

Итак, необходимо

Покажем, что можно найти такие x, y, при которых Если , то

Ответ.

Пример 2. Числа x, y, z таковы, что

. Какое наибольшее значение может принимать выражение

Пример 2 мы сведем к примеру 1.

Пусть значение

подставляя это выражение для z в уравнение, получим:

.

(1)

Теперь задача формулируется так: найти наибольшее значение а, для которого существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению (1).

Опять выделяя полные квадраты, сначала относительно х, затем относительно у, получаем:

Обозначим

.

Положим

Так как левая часть последнего равенства больше или равна нулю, то и правая часть должна быть неотрицательна, то есть

Решая систему

Ответ. Наибольшее значение а =

.

Пример 3. Найти все значения а, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению

и двум неравенствам

Решение.

1) Будем рассматривать левую часть равенства, как, например, квадратный трехчлен относительно

и попытаемся разложить его на множители.

Для этого воспользуемся теоремой 4. Согласно этой теореме, нужно найти корни уравнения:

Его дискриминант

и тогда

Теперь

Тогда равенство

можно переписать в виде:

Так как мы ищем только пары целых чисел (x,y), то числа

тоже целые.

Целыми делителями числа 7 являются числа

и только они. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности четырех систем:

2) Установлено, что уравнение

имеет ровно четыре пары целых решений. Неравенству x < y, удовлетворяют только две пары: (9; 26) и (15;38).

3) Выясним при каких а эти две пары из пункта 2) удовлетворяют условию:

.

(9; 26):

(15; 38):

4) Изобразим полученные множества на оси параметра а.