Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 4 из 11)

Достаточность.

Пусть

, - вещественные корни уравнения

Для того, чтобы оба корня были меньше числа

, достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

Доказательство.

По условию, справедлива система:

(1)

Вновь воспользуемся теоремой Виета

тогда система (1) примет вид:

Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4):

Неравенство (б) означает, что числа

) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть

иначе говоря , что и требовалось доказать.

1.9 Задачи

Обозначим через

, корни квадратного трехчлена (a-1) Найти все а, при которых оба корня больше 1.

Решение.

а) Если а=1, то уравнение -3x + 7 = 0 имеет только один корень, поэтому

б) При

воспользуемся пунктом II теоремы 7, который позволяет сразу записать:

1 1

Ответ.

.

2. Найти все значения

, при которых корни уравнения больше .

Решение.

Воспользовавшись пунктом II теоремы 7 получаем:

Ответ. a < -2.

3. Найти все значения

, при которых оба корня квадратного уравнения

будут меньше 1.

Решение.

Уравнение будет квадратным только если

. В этом случае оно равносильно уравнению:

Согласно пункту 1 теоремы 7 получаем, что