Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 10 из 11)

При а = 0:

При 0 < а < 2: решений нет

При а = 2:

Дадим теперь ответ на поставленный в условии вопрос:

Ответ. Уравнение имеет ровно три корня:

Вопрос. Объясните себе, почему невозможно совпадение корней с различными индексами; например, почему невозможно равенство:

при и т.п.? Ведь, если бы это было возможным, то ответ задачи мог бы быть более широким.

Конечно, следует отдавать себе отчет, что при ответе непосредственно на вопрос задачи можно было бы упростить решение, сразу же опираясь на рис. 4, но мы сознательно включили данную задачу в более широкую.

Решить уравнение

при всех значениях параметра а.

Такой подход позволяет ответить и на другие, связанные с задачей, вопросы:

1. Какое максимальное число решений может иметь данное уравнение, и при каких а это число реализуется?

2. При каких а уравнение не имеет решений?

3. При каких а уравнение имеет не менее трех решений и т.п.?

Пример 3. При всех а решить уравнение

и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Вновь используем предложенный алгоритм.

Определим знаки выражений под модулями, построив схему знаков:

Рис. 5.

Теперь ясно, что данное уравнение равносильно совокупности трех систем.

Исследуем разрешимость линейных уравнений в системах 1), 2), 3), пользуясь алгоритмом из главы 1.

Если а = -1, то все числа

являются решениями, при х₁ = -3, и корень х₁ не удовлетворяет условию

Ответ₁: при а = -1

; при остальных а система 1) решений не имеет.

Если а = 1, то -3

; если х₁ = -3

Ответ₂: при а = 1 -3

при х₁ = -3

Если а = -1, то решений нет; если

х₂ = , что является решением системы 3), если справедливо неравенство

Ответ₃: при -1 < а

1 х₂ = ; при остальных а система 3) решений не имеет.

Изобразим результат исследования графически на оси параметра а, как и в предыдущем примере.

Ответ.

Уравнение имеет ровно два решения при

Пример 4. Найти наименьшее значение функции

Применяя изложенный выше алгоритм, получим:

Вновь изобразим диаграмму знаков.

Рис. 6.

Теперь алгебраическая запись данной функции на различных участках числовой оси выглядит следующим образом:

Наконец, построим график, который является объединением прямолинейных отрезков и лучей (частей графиков соответствующих (1) линейных функций).

Очевидно, что наименьшее значение функции равно

, при х = .

Пример 5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением:

Решение.

Разобьем координатную плоскость ХОY на три области, соответствующие различным комбинациям знаков подмодульных выражений под знаком модуля (что является аналогом схемы знаков для выражений с одной переменой).

Рис. 6.

Парабола

разбивает координатную плоскость на две области, в одной из которых (область Iна рис. 6 заштрихована горизонтальными прямыми) выражение , а в оставшейся части плоскости .

Аналогично, парабола

разбивает координатную плоскость на две другие части, в одной из которых (область IIIна рис. 6 не заштрихована) выражение , а в оставшейся части плоскости

.

Окончательно вся координатная плоскость разбита на три области I, II, III. В области II справедливо двойное неравенство

.

Получив схему знаков, дальнейшее решение задачи мы проведем, руководствуясь общим алгоритмом. Задающее фигуру неравенство равносильно совокупности трех систем:

Множество точек, задаваемое системой I, изображена в виде заштрихованной области на рис. 7.

Рис. 7.

Множество точек, задаваемое системой II, изображена в виде заштрихованной области на рис. 8.

Рис. 8.

Решение системы IIIзаштриховано на рис. 9.