Применение регрессионного анализа в эконометрике (стр. 4 из 5)

y_i — выборочные данные, а f_i — соответствующие им значения модели.

Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.

Коэффициент принимает значения из интервала [0;1]. Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R² = r².

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (приложение 3).

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи — 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

Выводы

В настоящее время регрессионный анализ используется как в естественнонаучных исследованиях, так и в обществоведении.

Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимой или независимых переменных известна.

Практически, речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на графике (т.е. множество статистических данных), найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность (тренд, тенденцию), линию регрессии.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Решение задач основывается на анализе соответствующих параметров (статистических данных) в которых всегда неизбежно присутствуют отклонения, вызванные случайными ошибками. Поэтому существуют специальные методы оценки как уравнения регрессии в целом, так и отдельных ее параметров.

Глава 2. Практическое применение регрессионного анализа в эконометрике

Задача 1По территории региона приводятся данные за 2007 (табл. 2.1).

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одноготрудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.Решение: для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2.2)

х	у	Ху	х²	у²
1	78	133	10374	6084	17689
2	82	148	12136	6724	21904
3	87	134	11658	7569	17956
4	79	154	12166	6241	23716
5	89	162	14418	7921	26244
6	106	195	20670	11236	38025
7	67	139	9313	4489	19321
8	88	158	13904	7744	24964
9	73	152	11096	5329	23104
10	87	162	14094	7569	26244
11	76	159	12084	5776	25281
12	115	173	19895	13225	29929
Итого	1027	1869	161808	89907	294377
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4
σ	12,95	16,53	-	-	-
σ²	167,7	273,4	-	-	-

b=xy-y*x/∑x²-(x)²=(13484-85,6*155,8)/(7492,3-85,6²)=151,8/164,94=0,92a=y-b*x=155,8-0,92*85,6=77,0Получено уравнение регрессии: у=77,0+0,92*х.С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 рубль среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 рубля.Задача 2По семи территориям Уральского района за 2008 г. Известны значения двух признаков (табл. 2.3).

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская республика	68,8	45,1
Свердловская область	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская область	56,7	61,8
Пермская область	55,0	58,8
Курганская область	54,3	47,2
Оренбургская область	49,3	55,2

Определить:1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:А. линейной, ценить ее через F-критерий Фишера. Б. степеннойРешение:1.А. Для расчета параметров а и b линейной регрессии ŷ_x=а+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:n*a+b∑x=∑y,a∑x+b∑x²=∑y*x.По исходным данным рассчитываем: ∑x, ∑y, ∑x², ∑y*x, ∑y². (Табл. 2.4)b= yx-y*x/ σ_x²=(3166,05-57,89*54,9)/(5,86)²=-0,35;a=y-b*x=57,89+0,35*54,9=76,88.Уравнение регрессии: ŷ=76,8-0,35*х

У	х	у*х	х²	у²
1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76
Среднее значение	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68
σ	5,74	5,89	-	-	-
σ²	32,92	34,34	-	-	-

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 рубль доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35%-ных пункта.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:r_xy=b*σ_x/σ_y=-0,35*5,86/5,74=-0,357.Связь умеренная, обратная.Определим коэффициент детерминации:r²_xy=(-0,35)²=0,127.Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.Рассчитаем F-критерий:F_факт= r²_xy*(n-2)/(1- r²_xy)=0,127*5/0,873=0,7.Поскольку 1≤F≤∞, следует рассмотреть F^-1.Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.1.Б. построению степенной модели ŷ_x=а*x^bпредшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:lgy=lga + b*lgx;Y = C + b*X, гдеY = lg y, X = lg x, С = lg a.Для расчетов построим таблицу (табл. 2.5)

х	у	Х	У	Х*У	Х²	У²
1	68,8	45,1	1,6542	1,8376	3,0398	2,7364	3,3768
2	61,2	59,0	1,7709	1,7868	3,1642	3,1361	3,1927
3	59,9	57,2	1,7574	1,7774	3,1236	3,0885	3,1592
4	56,7	61,8	1,7910	1,7536	3,1407	3,2077	3,0751
5	55,0	58,8	1,7694	1,7404	3,0795	3,1308	3,0290
6	54,3	47,2	1,6739	1,7348	2,9039	2,8019	3,0095
7	49,3	55,2	1,7419	1,6928	2,9487	3,0342	2,8656
Итого	405,2	384,3	12,1587	12,3234	21,4003	21,1355	21,7078
Среднее значение	57,89	54,90	1,7370	1,7605	3,0572	3,0194	3,1011
Σ	5,74	5,89	0,0484	0,0425	-	-	-
σ²	32,92	34,34	0,0023	0,0018	-	-	-

Рассчитаем С и b:b=(YX-Y*X)/σ²_X=3,0572-1,7605*1,7370/0,0484²=-0,298;C=Y-b*X=1,7605+0,298*1,7370=2,278.Получим линейное уравнение: Ŷ=2,278-0,298*Х.Выполнив его потенцирование, получим:ŷ=10^2,278*х^-0,298=189,7* х^-0,298.Выводы

В практических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (описать приблизительно) зависимость между переменными величинами у и х. Ее можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии.

Показатели регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение средней величины

признака у при изменении значений x_i признака х, и, наоборот, показывают изменение средней величины

признака х по измененным значениям y_i признака у.

Форма связи между показателями может быть разнообразной. И поэтому задача состоит в том, чтобы любую форму корреляционной связи выразить уравнением определенной функции (линейной, параболической и т.д.), что позволяет получать нужную информацию о корреляции между переменными величинами у и х, предвидеть возможные изменения признака у на основе известных изменений х, связанного с у корреляционно.