Функция многих переменных (стр. 1 из 12)

. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.

План.

1. Определение функции многих переменных.

2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.

1. Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х

;...;х
)

D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве Dопределена функция и=f(х
;...;х
).

Множество точек М(х

;...;х
), для которых функция и=f(х
;...;х
) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

2. Обозначим через

(М;М
) расстояние между точками М и М
. Если п=2, М(х;у), М
(х
;у
), то

(М;М
)=

В п-мерном пространстве

(М;М
)=

Пусть на множестве Dзадано функцию и=f(М).

Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М

, если для произвольного числа

>0 найдётся такое число

>0, что для всех точек М

D, которые удовлетворяют условию 0<

(М;М
)<

, выполняется неравенство

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке М

конечные пределы, то

= с

если

Заметим, что если предел

существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М

Функция и=f(М) называется непрерывной в точкеМ

, если

= f(М

Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке М

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z=

имеет разрыв в точке (0;0), а функция z=
имеет разрыв на параболе

3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству

(М;М
)<

, называют

-окрестностью точки М

Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М(x;у). Дадим переменной х приращение

так, чтобы точка (х+

;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину

которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.

Аналогично величину

называют частичным приращением функциипо переменной у.

Если существует предел

то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точкеМ(x;у) по переменной х и обозначают такими символами:

Аналогично

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных

функцииz=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так: