Функция многих переменных (стр. 6 из 12)
2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sinx=t.
3) Если оба показателя т и п –чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
, 
.4) Для нахождения интегралов вида
, 
удобно пользоваться формулами
5. В интегралах
, 
, 
, 
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул
Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции.Определённыйинтеграл его геометрический смысл и свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
План.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x) 
на [a;b]. 
у у= f(x) 
0 а х 
х 
х 
bx
Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х 
<x <…< х < х <…<х 
=b.
На каждом отрезке [х ; х ] возьмём произвольную точку ивычислимзначение f( ). Тогда площадь S заштрихованного прямоугольника, будет равна
S = f( )
, где = х - х .Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S 
.
Пусть
. Естественно считать, чтоS 
. (6.2)
К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками
а=х <x <…< х 
< х 
<…<х 
=b.
На каждом из созданных отрезков [х ; х ] возьмём произвольную точку 
и составим сумму
, где
= х - х 
,которую будем называть интегральной суммой функции f(x).
Обозначим
. Если существует конечный предел интегральной суммы 
, при 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек , то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом 
, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].То есть, по определению,
= 
.Числа а и bназываются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Относительно существования определённогоинтеграла имеет место такая теорема
Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Еслиf(x)
, то равен площади соответствующей криволинейной трапеции: =S. Если f(x)<0, то = -S.Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, то
=0. Например, 
Если функция f(x) чётная, то =2 
.Свойства определённого интеграла
Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.
1.
= 
. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.2.
=0.