Функция многих переменных (стр. 3 из 12)

Градиентом функции z=f(x;у) называется вектор

gradz=(

, ).

Свойства градиента

1. Производная

имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .

2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.

3. Пусть функция z=f(x;у) определена на множестве D и точка М

(х

;у

)

D. Если существует окрестность точки М

, которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М

точек М выполняется неравенство

f(М)<f(М₀) (f(М)>f(М₀)),

то точку М

называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f(x;у), а число f(М₀) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.

Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f(x;у) в точке М

( х

;у

) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные

, равны нулю или не существуют.

Точки, в которых

= = 0, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.

Поэтому функция может достигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пусть в стационарной точке М

( х

;у

) и некоторой её окрестности функция z=f(x;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:

А=

( х

;у

), В= ( х

;у

), С= ( х

;у

), =АС-В².

Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума).

1. Если

>0, то функция z=f(x;у) в точке М

имеет экстремум, причём максимум при А<0 и минимум при А>0.

2. Если

<0, то в точке М

нет экстремума.

Для случая, когда количество переменных п>2, пользуются такой теоремой.

Теорема 5.3 Функция и=f(х

;...;х

) имеет минимум в стационарной точке М

, если дифференциал второго порядка этой функции в точке М

положителен d²f(М

)>0, и максимум, еслиd²f(М

)<0.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

z=(х+2)²+(у -1)².

Решение.

Функция имеет одну критическую точку М(-2;1).

А=2, В=0, С=2,

=АС-В²= 2*2-0²= 4>0, А>0.

Значит, в точке М(-2;1) функция имеет минимум: minz=z(-2;1)=(-2+2)²+(1-1)²=0.

Лекция 12. Тема – Интегральное исчисление функций. Первообразная. Неопределённный интеграл. Методы интегрирования.

План.

1. Первообразная функции. Неопределённный интеграл. Свойства неопределённого интеграла.

2. Таблица основных интегралов. Метод подстановки (замены переменной).

3. Интегрирование по частям. Интегралы, которые ”не берутся”.

Интеграл – одно из центральных понятий математики. Оно возникло в связи с двумя задачами: 1) о восстановлении функции по её производной; 2) о вычислении площади криволинейной трапеции. Эти задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: определённого и неопределённого. Термин ”интеграл” ввёл Якоб Бернулли в 1690 году.

1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F^’(x)=f(x).

Например. первообразными функцииf(x)=3х² будут функции х³, х³+1, х³+0,5 и вообще F(x)= х³+С, где С – произвольная постоянная, поскольку F^’(x)=( х³+С)’=3х². Этот пример показывает, что если функцияf(x) имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Возникает вопрос: как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них? Ответ даёт такая теорема.

Теорема 6.1 Если F(x) – первообразная функцииf(x) на некотором промежутке, то всякая другая первообразная функцииf(x) на этом промежутке имеет вид F(x) +С, где С – произвольная постоянная.

Множество всех первообразных F(x) +С функцииf(x) называют неопределённым интегралом функции f(x) и обозначают

. Таким образом, по определению

=F(x) +С, если F^’(x)=f(x).

При этом f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dх – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак

- знаком интеграла, С – постоянной интегрирования.

Операцию нахождения первообразной функцииf(x) называют интегрированием этой функции.

Операции дифференцирования и интегрирования являются обратными по отношению друг к другу.

Возникает вопрос: для каждой ли функцииf(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл? Оказывается не для каждой. Но справедлива такая