Функция многих переменных (стр. 2 из 12)

, ,

, .

Производные

и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.

План.

1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.

3. Локальные экстремумы функции высших порядков.

1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М(x;у) вместе со своими частными производными

(х;у), (х;у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+ ;у+ ) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М(x;у)

= f(x+ ;у+ )-f(x;у)

можно записать в виде

= (х;у) + (х;у) + ,

где

- бесконечно малые функции при , , то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М(x;у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz=

+ .

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=

, dу= . Поэтому

dz=

dх + dу,

или в других обозначениях

dz=

dх + dу.

Для функции трёх переменных и= f(x;у;z)

dи=

dх + dу+ dz.

Полный дифференциал функции z=f(x;у)

dz=

dх + dу,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d²z= d(dz).

Тогда

d²z= d(

dх+ dу)= ( dх+ dу)dх+ ( dх+ dу)dу= dх²+ dу dх+

+

dх dу+ dу²,

откуда

d²z=

dх²+2 dх dу+ dу².

Символически это можно записать так:

d²z=(

dх+ dу)²z.

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п-го порядка:

d^пz= d(d^п-1z) =(

dх+ dу)^пz.

2. Производная функции z=f(x;у) в направлении вектора

вычисляется по формуле

+ ,

где

, - направляющие косинусы вектора :

= , = .

Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора

определяет скорость изменения функции в направлении вектора .