Функция многих переменных (стр. 10 из 12)

Два комплексных числа

и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системе координат точкой М(х;у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной, у

а ось Оу – мнимой.

При у=0 комплексное число

является одновременно

у

М(х;у)

действительным числом. Поэтому действительные числа являются

отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох.

Комплексные числа , в которых х=0, называются чисто

мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу.

0 х х

Полярные координаты точки М(х;у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются

Поскольку

, то по формуле (7.10) имеем

.

Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2

:

.

Здесь

- общее значение аргумента, а - главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0; и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.

Если

, то считают, что а - неопределён.

Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что

. Так, если

, , то

1)

2)

3)

4)

.

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть

, .

Тогда

=

Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,

.

Последняя формула называется формулой Муавра.

При делении комплексных чисел имеем

.

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа

надо найти корень п-й степени , то по определению корня и формуле Муавра имеем

.

Отсюда

, .

Поскольку r и

положительные, то , где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому

.

Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2

, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.

Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера

. Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме , которая называется показательной формой комплексного числа z.

3. Уравнение вида

(7.11)

где р, q – постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическое уравнение

(7.12)

В зависимости от корней

уравнения (7.12) общее решение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов:

1)

, если действительные и ;

2)

, если действительные и ;

3)

, если , ( ).

Пример 7.8. Решить уравнение

(7.13)

Решение. Сначала составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

D= 3²- 4*5= -11,

Характеристическое уравнение имеет два сопряжённых корня:

.

Поэтому общее решение уравнения (7.13) будет таким:

.

Лекция 17. Тема – Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды.

План.

1. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена.

1.Пустьзаданапоследовательность чисел: