Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.
Приклад 8. Розв’язати систему
Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему
легко перевірити, що її загальний розв’язок буде
В матричній формі цей розв’язок виглядає так:
де
Крім того,
Знайдемо обернену до матрицю:
Тоді
Інтегруючи одержану матрицю, знаходимо
Тоді за формулою (12.69) маємо
Отже, частинний розв’язок має вигляд
Загальний розв’язок системи можна записати у формі
12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь
в економіці
Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.
12.13.1. Модель природного росту випуску продукції
Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Позначимо через кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:
(12.71)
де норма інвестиції (постійне число), причому
Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто
(12.72)
де норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо
(12.73)
Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв’язок а частинний розв’язок. Нехай в початковий момент часу заданий об’єм випуску продукції звідки
Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,
(12.74)
12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції
В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об’єму продукції на ринку ціна на нього не падає (). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
(12.75)
Оскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то тобто функція зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку
Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту
звідки або , оскільки а, значить і одержимо
(12.76)
Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли і графік функції має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).
Для простоти візьмемо залежність лінійну (рис.12.3), тобто
Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд
(12.77)
звідки
(12.78)
Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо: і при при і при точка перегину графіка функції Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива .
Рис. 12.3 Рис.12.4
Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.
12.13.3. Динамічна модель Кейнса
Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу . Тоді справедливі такі співвідношення:
(12.79)
де коефіцієнт нахилу до споживання (); автономне (кінцеве) споживання; норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.
Будемо вважати, що функції і задані – вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу або як функцію часу
Підставляючи вираз для із другого рівняння (12.79) і із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку
Будемо вважати, що основні параметри задачі і постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами
(12.80)
Загальний розв’язок дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння. В якості частинного розв’язку рівняння (12.133) візьмемо так званий рівноважний розв’язок, коли тобто
(12.81)
Неважко замітити, що ця величина додатна. Загальний розв’язок однорідного рівняння так що загальний розв’язок рівняння (12.80) має вигляд
(12.82)
Інтегральні криві рівняння (12.80) показані на рис.12.5. Якщо в початковий момент часу то і криві йдуть вниз від рівноважного розв’язку (12.81), тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі і оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж то і національний дохід росте – інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв’язку Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка (12.81) є точкою нестійкої рівноваги.
12.13.4. Неокласична модель росту
Нехай національний дохід, де однорідна виробнича функція першого порядку, об’єм капіталовкладень (виробничих фондів), об’єм затрат праці. Якщо величина фондоозброєності , то продуктивність праці виражається формулою
(12.83)
Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:
1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів
2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто
де норма амортизації.
Тоді, якщо норма інвестицій, або
Рис.12.5 Рис.12.6
Із визначення фондоозброєності випливає, що
Диференціюючи дану рівність по і підставляючи вирази і одержимо рівняння відносно невідомої функції
(12.84)
де визначається за формулою (12.83).
Стаціонарний розв’язок цього рівняння має вигляд
Розглянемо конкретну задачу: для виробничої функції знайти інтегральні криві рівняння (12.84) і стаціонарний розв’язок. Із (12.83) випливає, що і тоді рівняння (12.84) має вигляд
(12.85)
Стаціонарний розв’язок цього рівняння випливає із рівності
звідки ми отримаємо ненульовий частинний розв’язок рівняння (12.137):
Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо
Інтегруючи це рівняння (заміною ), одержимо загальний розв’язок рівняння
(12.86)
Сімейство інтегральних кривих збігається зверху і знизу до стаціонарного розв’язку (рис.12.6): тобто при Отже, при незмінних вхідних параметрах задачі і функція фондоозброєності стійко прямує до стаціонарного значення незалежно від початкових умов. є точкою стійкої рівноваги.
12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.
Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
Рівняння виду
(12.87)
де фіксоване, а довільне натуральне число, члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням го порядку.
Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.
Означення. Різницеве рівняння виду
(12.88)
де деякі функції від називається лінійним різницевим рівнянням го порядку.
У випадку, коли коефіцієнти є сталими, методи розв’язування такого класу рівнянь багато де в чому аналогічні
розв’язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого порядку:
(12.89)
Загальний розв’язок рівняння (12.89) визначається за формулою
де загальний розв’язок однорідного рівняння а деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння (12.89). Для знаходження загального розв’язку однорідного рівняння складаємо характеристичне рівняння
1) Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв’язок знаходиться за формулою
2) Якщо корені дійсні і рівні то
2) У випадку комплексних спряжених коренів загальний розв’язок має вигляд
Приклад. Розв’язати рівняння
Р о з в ‘ я з о к. Корені характеристичного рівняння
Тому загальний розв’язок однорідного рівняння
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді Підставляючи цей вираз в наше рівняння, одержимо
Отже, і
Таким чином, загальний розв’язок рівняння має вигляд:
В якості прикладу, що ілюструє застосування різницевих рівнянь, розглянемо модель ділового циклу Самуельсона-Хікса (динамічний варіант моделі Кейнса). В цій моделі використовується так званий принцип акселерації, тобто припущення, що масштаби інвестування прямо пропорційні приросту національного доходу. Дане припущення характеризується рівнянням
(12.90)
де коефіцієнт фактор акселерації, величина інвестицій в період величини національного доходу відповідно в му і му періодах. Припускаємо також, що споживання на цьому етапі залежить від величини національного доходу на попередньому етапі, тобто
(12.91)
Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд:
(12.92)
Підставляючи в (12.92) вирази та знаходимо
(12.93)
Рівняння (12.93) називається рівнянням Хікса. Воно представляє собою лінійне неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (якщо припустити, що на протязі розглядуваних періодів величини і постійні).
Зауваження. Якщо припустити, що
(12.94)
можна легко знайти частинний розв’язок (12.93). В силу (12.94) із (12.93) одержимо
звідки
(12.95)
Вираз в формулі (12.95) називається мультиплікатором Кейнса і є одновимірним аналогом матриці повних затрат.