Уравнение и функция Бесселя (стр. 3 из 6)
следовательно, при целом положительном
. (14`)С помощью (11`) находим:
,но в силу (15)
,и, следовательно, при целом положительном
. (15`)4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему
функций 
(с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел: 
Составим ряд
,где
– комплексная переменная. Предположим, что при каждом 
(принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность 
. В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.Функция
(16)(где x лежит в области определения функций системы
, 
– внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению 
) называется производящей функцией системы .Обратно, пусть задана функция
, где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням : ,найдем, что система коэффициентов
этого ряда будет искомой системой .Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции
рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим: 
. (17)Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами
( 
…) производящая функция есть: 
.Имеем:
, 
,откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме
и 
были связаны зависимостью 
, то мы могли положить 
, получив суммирование по одному индексу 
). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых 
, следовательно, при 
это будет 
; при 
это будет 
. Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак, 
, (18)но это и доказывает, что
есть производящая функция для системы 
.Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней
, получим: 
,откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что
) 
(18`) 
(18``)Заменяя в (18`) и (18``)
на 
, найдем: 
, (18```) 
. (18````)Интегральное представление Jn(x)
Так как, по доказанному, при
имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера): 
где принято во внимание, что
есть четная функция от 
есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа 
. (19)Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра
. Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при 
найдем: 
. (19`)5. Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале
(конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения 
, 
, (20)