Уравнение и функция Бесселя (стр. 2 из 6)

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом

. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)

Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса

функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если

(целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования

на ,

, (7)

откуда видно, что

удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого

уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( – не целое) (8)

и дополняя это определение для

(целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию

, удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)

2. Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:

; ;

, ;

.

Следовательно,

. (10)

Таким образом, операция

(состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где – любое натуральное число, получаем:

. (10`)

Имеем:

;

Следовательно,

. (11)

Таким образом, операция

, примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:

. (11`)

Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

; ; .

Отсюда, в частности, следует, что

. Используя (11), получим:

; ; .

Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

, (12)

. (13)

Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через

, . Действительно, из (13) находим (полагая ):

, (13`)

откуда последовательно получаем:

,

, …………………

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом

Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом

, где – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.

Имеем:

,

,

следовательно,

.

Но

, значит:

. (14)

Далее

,

,

следовательно,

.

Но

, поэтому

. (15)

С помощью (10`) находим:

,

а учитывая (14)

,