Замечание. Из этого доказательства видно, что условие непустоты пересечения работало только при проверке транзитивности. Значит, справедлива.
1.2.4 Теорема
Если отношения
и
рефлексивны и симметричны (в частности, являются эквивалснтиостями), то их прямая сумма
также рефлексивна и симметрична. Замечание. Если

, то каждое из отношений

и

есть сужение отношения

на свою область задания.
1.3 Операции над эквивалентностями
Посмотрим, какие операции над отношениями эквивалентности и при каких условиях дают в результате эквивалентность.
Транзитивное замыкание

отношения эквивалентности

является отношением эквивалентности.
Отношение, обратное к эквивалентности, является эквивалентностью.
Если

и

– эквивалентности, то их пересечение

также является отношением эквивалентности.
Сложнее обстоит дело с объединением отношений эквивалентности. Вообще говоря, объединение эквивалентностей уже не обязано быть эквивалентностью.
Действительно, отношение

дает разбиение на два класса

и

, отношению

соответствует разбиение

, а отношение

дает неполный связный граф.
Теперь попробуем разобраться, когда объединение эквивалентностей дает в результате эквивалентность. Пусть

, тогда из свойств теоретикомножественных операций следует

, т.е.

есть эквивалентность. Точно так же, если

, то

является эквивалентностью.
Рассмотрим более общий случай, когда множество

можно разбить на два непересекающихся подмножества

и

(из которых одно может быть пустым) так что

и при этом

В этом случае отношения

и

мы назовем
когерентными.
Легко видеть, что если

или

, то отношения

и

когерентны (надо положить

,

). Таким образом, сравнимость относительно "порядка", задаваемого включением, есть частный случай когерентности.
Из следует, что для когерентных отношении эквивалентности

и

:

и

. Используя определение прямой суммы и , получаем

. Здесь

и

– эквивалентности (как сужения эквивалентиостей

и

), а

, и

не пересекаются. По теореме 1.2.3 отсюда следует, что

есть отношение эквивалентности.
Оказывается, когерентность отношений

,

является не только достаточным, но и необходимым условием для того, чтобы объединение

эквивалентностей

и

было эквивалентностью.
1.3.2 Теорема
Для того чтобы объединение
эквивалентностсй
и
само было отношением эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы
и
были когерентными. Нам понадобятся некоторые простые свойства разбиений на классы эквивалентности, которые мы сформулируем в виде самостоятельных лемм. Мы будем далее использовать некоторые словесные сокращения. Если

– эквивалентность и

, то мы будем говорить, что

и
-эквивалентны. Разбиение, соответствующее эквивалентности

, мы будем называть
-разбиением;
-классами и т.п.