Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 18 из 20)

Рассмотрим несколько примеров.

В пространстве

элемент , содержащий все числа, толерантен ко всем элементам и, стало быть, входит во все классы толерантности. Значит, в пространствe – полное отношение.

На рис. 4 изображен циклический граф из 7 вершин. Классами толерантности являются "ребра", а толерантны классы, соответствующие смежным ребрам. Ясно, что для линейного графа из

вершин сопряженным является линейный граф из вершин.

На рис. 5 изображен циклический граф. Сопряженным к нему будет циклический граф из того же числа верин (если количество вершин исходного графа было больше трех).

На рис. 6 изображено пространство толерантности

, состоящее из двух циклов, зацепленных в одной точке. Сопряженное пространство состоит из таких же циклов с более сложным зацеплением. Но сопряженное к последнему пространство по существу совпадает с исходным пространством .

Определение. Пусть

– базис. Тогда пространство называется сопряженным к , относительно данного базиса .

Определение. Второе сопряженное пространство относительно некоторого базиса

в и базиса в называется производным от исходного пространства толерантности .

Итак, производное пространство толерантности определяется не однозначно, а с точностью до выбора базисов. Этот произвол исключается, когда

и имеют по единственному базису.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Для линейного графа с

вершинами производное пространство также есть линейный граф, но с вершинами (см. рис. 4)

2. Для циклического графа с

вершинами производное пространство "совпадает" с исходным пространством (см. рис. 5).

3. Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6).

4. Для пространства

производное пространство состоит из одного элемента.

2.6.5 Теорема

Если

– произвольное пространство толерантности, а

– произвольный базис в нем, то существует такой базис

в сопряженном пространстве

и такое инъективное отображение

, что при

и

из

следует

.

Доказательство. Обозначим через

множество классов из базиса , содержащих . Для любых классов и из имеем , т.е. . Итак, множества суть предклассы в . Значит, для всякого существует класс в , для которого . Зафиксируем для каждого некоторый класс и множество этих классов обозначим через . Мы имеем сюръекцию , которое каждому сопоставляет класс . Покажем, что содержит некоторый базис . Действительно, если , то существует , содержащийся в и . Тогда и содержаться в , а значит, и . Теперь для каждого выберем ровно один элемент , для которого . Множество таких элементов обозначим через . Ясно, что и возникающая при этом сюръекция на инъективно. Тогда обратное к нему отображение инъективно отображает на подмножество множества . Поэтому его можно рассматривать как инъективное (но уже в общем случае не сюръективное) отображение. Пусть теперь и, где и и . Тогда существует класс , содержащий и . Значит, . Но из и следует, что , т.е. . Теорема доказана.