Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 17 из 20)

Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.

2.6.2 Теорема

Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество

.

Доказательство. По определению толерантности в

для всякого любая пара и толерантна. Значит, есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс . Выберем для каждого один из классов . Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис .

Следствие. Когда

конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.

Рассмотрим исходную карту

и полученную из нее каноническую карту , где – базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов обеими картами, совпадают.

Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности

, задаваемым на с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть – отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков , а – отношение эквивалентности, заданное по . Как показывает пример на рис. 1, отношения и могут и не совпадать. В общем, случае справедлива

2.6.3 Теорема

Если выполнено соотношение:

, то выполнено и соотношение

, т.е.

.

Доказательство. Если

, то совокупности исходных признаков и , выполненных для и , совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности и одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом, и имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е. . Теорема доказана.

Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.

2.6.4 Теорема

Пусть имеется карта

. Для, того чтобы элемент покрытия

являлся классом порожденной толерантности

, необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества

, из

следоаало бы

.

Доказательство. Сначала предположим, что множество

не является классом толерантности. Так как является предклассом, то единственная причина, по которой может не быть классом, состоит в том, что существует , не входящий в и толерантный ко всем элементам . Значит, для всякого существует множество , содержащее и . Таким образом, множества образуют покрытие множества . Но все содержат элемент , не входящий в . Следовательно, пересечение не содержится в . Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество , что , но . Значит, существует элемент , не входящий в , но входящий во все . Этот элемент толерантен ко всем . Значит, не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.

Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.

Пусть

– произвольное пространство толерантности, и пусть – некоторая совокупность классов толерантности. Множество естественным образом превращается в пространство толерантности при помощи следующего определения: , если .

Определение. Если

совпадает с множеством всех классов, то пространство называется сопряженным к и обозначается (таким образом, ).