Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 15 из 20)

Следствие. Отношение

есть эквивалентность, а непустые ядра сложат для

классами эквивалентности.

Отметим очевидное включение

В случае эквивалентности классы не пересекаются и каждое ядро совпадает со своим классом толерантности:

, и, кроме того, для любого .

Заметим, что при обобщении понятия эквивалентности – переходе к толерантности – понятие класса эквивалентности расщепляется на два разных понятия – класс толерантности и ядро.

2.5.2 Определение

Пространство толерантности

называется безъядерным, если каждое ядро состоит не более чем из одного элемента.

Для безъядерных пространств, толерантности основная классификационная теорема (тeopeмa 2.3.1) может быть уточнена так:

Теорема. Пусть

– безъядерное пространство толерантности, а

– множество всех есо классов толерантности. Тогда существует инъективное отображение

такое, что элементы из

толерантны в том и только том случае, когда толерантны их образы в

.

Для конечных пространств с нетривиальными ядрами можно применить тот же прием, который был уже использован для задания признаками эквивалентности. А именно, выберем в каждом ядре свою нумерацию. Сопоставим каждому элементу

конечного пространства набор номеров , где – те же самые номера, что и в 3, а – номер элемента в своем ядре. Ясно, что элемент однозначно определяется целочисленными признаками , а толерантность пары определяется совпадением одного из признаков .

Пусть теперь

– произвольное прострапсизо толерантности. Обозначим через множество его ядер и определим толераниюсть ядер и условием: , если существуют представители и , толерантные в . Так как элементы одного ядра имеют общее множество толерантных с ними элементов, то из , следует, что для любых и выполнено . Мы получили новое пространство . Можно убедиться, что оно будет безъядерным. Ясно Ясно также, что равносильно , где и – содержащие эти элементы ядра.

Теперь заметим, что ядра можно было бы определять не с помощью полного запаса классов, а только с помощью классов, принадлежащих некоторому базису

. Пусть – некоторая совокупность классов из базиса . Ядром

относительно базиса мы назовем совокупность всех элементов из , каждый из которых входит во все эти классы и не входит ни в какие другие классы из базиса .

Лемма. Разиение множества

на ядра относительно базиса

совпадает с разбиением множества

на обычные ядра.

Доказательство. Буквально повторяя доказательство леммы 2.5.1, мы получим, что ядра, определенные по базису

– это классы эквивалентности по . Значит, они совпадают с исходными ядрами.

Теорема. Если пространство толерантности

имеет конечный базис

, то совокупность всех классов толерантности в

конечна.

Доказательство. В силу леммы 2.5.2 число ядер конечно, т.е. конечно пространство ядер

. Значит, имеет конечное число классов толераитпости. Но так как равносильно , то каждый класс толерантности в есть объединение ядер, образующих соответствующий класс толерантности в . Таким образом, совокупность всех классов толерантности в конечна.

Обратим внимание, что ни в формулировке теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что

конечно. Оно и фактически может быть бесконечным за счет бесконечности ядер.

2.6 Дальнейшее исследование структуры толерантностей