Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2

, cos 2

, tg 2

, ctg 2

через тригонометрические функции угла

.
Положим в формулах
sin(

+

) = sin

cos

+ cos

sin

,
cos(

+

) = cos

cos

- sin

sin

,

,

.

равным

. Получим тождества:
sin 2

= 2 sin

cos

;
cos 2

= cos
2 
- sin
2 
= 1 - sin
2 
= 2 cos
2 
- 1;

;

.
№ 18
Формулы половинного аргумента
- Выразив правую часть формулы cos 2
= cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2
= 1 - sin2
, cos 2
= 2 cos2
- 1.
Если в данных соотношениях положить
=
/2, то получим:
cos
= 1 - 2 sin2
/2, cos 2
= 2 cos2
/2 - 1. (1) - Из формул (1) следует, что
(2),
(3). - Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4). - В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол
/2. - Полезно знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin

+ sin

, положим

= x + y и

= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin

+ sin

= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений

= x + y,

= x - y относительно x и y, получим х =

, y =

.
Следовательно,
sin

+ sin

= 2 sin

cos

.
Аналогичным образом выводят формулы:
sin

-sin

= 2 cos

sin

;
cos

+ cos

= 2 cos

cos

;
cos

+ cos

= -2 sin

sin

.