Случайные события (стр. 9 из 20)

(15.5)

- которое позволяет операцию предела вынести за функцию

. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):

. (15.6)

. (15.7)

Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий

- есть достоверное событие. Таким образом, содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.

Пространство элементарных событий

, - алгебра событий и вероятность на , удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать .

Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют

, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.

Дискретное вероятностное пространство

Вероятностное пространство

называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая ), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий :

, , (16.1)

. (16.2)

Для любого события

его вероятность определяется равенством

. (16.3)

Примеры - алгебр

17.1. Пусть

- произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие , то возможно построить только его дополнение . Теперь имеется система из двух событий {}. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра .

17.2. Пусть

- пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с , т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий . Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями . Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий .

Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат

, - это новые события, не содержащиеся в исходной системе , включение которых дает новую систему событий

. (17.1)

Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является

- алгеброй, порожденной системой .

17.3. Усложним пример. Пусть

- пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что . Таким образом, имеется система трех событий . Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события . Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

(17.2)

является

- алгеброй, порожденной системой событий .

17.4. Рассмотрим

- пространство элементарных событий и два произвольных события , рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.

На

выделим все несовместные события , рис. 17.1. При этом , , , , и т.д. - алгебра будет содержать все события , все объединения событий , а также невозможное событие . Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие . Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий . Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий .