Случайные события (стр. 5 из 20)
Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий 
и 
.
штриховкой, 
– вертикальной штриховкой и 
– штриховкой "в клеточку".
Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий и .
Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.
Условные вероятности
Пусть события 
и 
имеют вероятности 
и 
. Рассмотрим вероятность события , если известно, что произошло событие . При этом в общем случае вероятность события изменяется и становится отличной от 
. Эта вероятность обозначается 
и называется условной вероятностью события при условии, что произошло, или просто – вероятностью при условии .
Следует различать две ситуации. 1). Если 
, то события и зависимые. 2). Если 
, то события и независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие - это выпадение единицы, - выпадение нечетного числа. Тогда 
=1/6, а 
=1/3, следовательно и 
- зависимые события.
Если - результат опыта, то 
называют доопытной или априорной вероятностью события , а условную вероятность - послеопытной или апостериорной вероятностью события .
Формула сложения вероятностей
Образуем из событий и с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:
. (8.1)
Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий: 
. Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):
где 
- достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).
Пусть эксперимент 
выполнялся 
раз, и в качестве его исхода событие 
наблюдалось 
раз, событие 
наблюдалось 
раз, событие 
- 
раз и событие 
- 
раз. Очевидно,
. (8.2)
Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:
. (8.3)
Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1): 
. Поэтому частота
. (8.4)
Аналогично 
и частота 
события имеет вид:
. (8.5)
Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):
. (8.6)
Отсюда:
. (8.7)
Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:
, (8.8)
которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.
Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):
. (8.9)
Если события 
и 
несовместны, то 
=0 и формула сложения вероятностей принимает вид:
. (8.10)
Формула умножения вероятностей
Объединение первых двух событий системы (8.1) 
. В последовательности из 
опытов событие 
появилось 
раз, а событие 
- 
раз. Поэтому событие появилось 
раз. Определим число появлений события при условии, что событие произошло. Событие происходит, если происходит или , число таких исходов равно , при этом событие 
происходит, если происходит , число таких исходов равно 
. Таким образом, условная частота появления события при условии, что 
произошло