Случайные события (стр. 17 из 20)

Гипергеометрическое распределение

Пусть дана совокупность

объектов, среди которых

отмеченных (например, бракованных изделий, белых шаров, выигрышных билетов и т.п.). Извлекается наугад

объектов. Определить вероятность

того, что среди них окажется

отмеченных.

Постановка задачи требует уточнения. Можно рассматривать два следующих варианта дополнительных условий. 1). Извлечение с возвращением. При этом извлечение каждого объекта - это отдельный опыт, после которого объект возвращается в исходную совокупность с последующим перемешиванием всех объектов. Таким образом, задача укладывается в вероятностную схему Бернули с вероятностью успеха в одном опыте

и числом опытов

. Вероятность

можно вычислить по формуле Бернули. 2). Извлечение без возвращения. Этот вариант приводит к новой задаче. Рассмотрим ее решение.

Поскольку порядок расположения извлекаемых объектов не имеет значения, то число способов выбора

объектов из совокупности

различных объектов равно

, (24.1)

и представляет собой общее число возможных исходов опыта. Из

отмеченных объектов можно выбрать

объектов

способами, причем каждому такому способу соответствует

способов добрать еще

объектов до общего числа

, выбирая их из

неотмеченных. Следовательно, число способов, благоприятствующих появлению

отмеченных объектов среди

выбранных, равно

. Поэтому

. (24.2)

Формула (24.2) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.

Рассмотрим пример вычисления вероятностей выигрыша в игре «спортлото». В данном случае

(число номеров на карточке),

- число выигрышных номеров (т.е. отмеченных). По условию игрок выбирает

номеров из

номеров. При этом игрок может угадать

выигрышных номеров,

.

Вероятность этого события

можно вычислить по формуле (24.2). При

получим вероятность максимального выигрыша

.

Отметим, что результат в виде произведения чисел 6/49, ... , 1/44 может быть получен из формулы умножения вероятностей.

Асимптотика Пуассона

25.1. Формула Бернули приводит при больших

к очень громоздким вычислениям. Поэтому важное значение имеют приближенные, но более простые формулы, которые можно получить из биномиального распределения. Часто встречаются задачи, в которых рассматривается большое число независимых опытов, причем вероятность успеха в каждом отдельном опыте мала. В этом случае вероятности

того, что в серии из

опытов число успешных опытов будет равно

могут быть вычислены по формуле Пуассона, которая получается как асимптотика биномиального распределения, при условии, что число опытов

, а вероятность успеха в отдельном опыте

, так что параметр

. (25.1)

Рассмотрим вывод формулы Пуассона. Из (25.1) выразим

и подставим в формулу Бернули, тогда

. (25.2)

При

наивероятнейшее число

распределения Бернули равно

, а согласно (25.1)

. Это означает, что

имеет существенные значения только при

, а с увеличением

вероятность

. Поэтому, полагая в (25.2)

, получаем

. (25.3)

Разложим в ряд Тейлора функцию

при малом

:

. (25.4)

Используем эту формулу для преобразования выражения

. (25.5)

Оставляя здесь только первое слагаемое, получим

. (25.6)

Аналогично рассмотрим

. (25.7)

Подставим (25.6), (25.7) в формулу (25.3), тогда

,

,

. (25.8)

Это равенство называется асимптотической формулой Пуассона или распределением Пуассона.

Отметим, что асимптотику (25.8) можно рассматривать в пределе при

и

, где

не зависит от

. Тогда

,

. (25.9)

Распределение вероятностей (25.9) удовлетворяет условию

. (25.10)

25.2. Определим наивероятнейшее число

распределения Пуассона (25.9). Очевидно число

удовлетворяет двум условиям: