Случайные события (стр. 10 из 20)

Теперь для построения

- алгебры рассмотрим события

, все их объединения и выразим полученные события через исходные

. Очевидно:

,

,

,

. Парные объединения дают следующие события:

,

,

;

,

;

. Тройные объединения:

,

,

,

.

Таким образом,

- алгебра содержит события:

,

,

,

;

,

,

,

,

,

;

,

,

,

, а также

и

- всего 16 событий.

Отметим, что при определении

- алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.

Отметим, что события

совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно,

,

,

и наконец, по формуле (6.1)

.

17.5. Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий

- содержит

произвольных событий

. Для построения

- алгебры, подобно примеру 4, введем события вида

, (17.3)

где каждое

или

, причем

и

. Поскольку каждое

может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида

равно

. Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события

на

- алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие

через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события

. В теории множеств множества вида

называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий

- алгебры не превышает

(включая

и

), причем число событий достигает максимального значения, когда все

отличны от

(как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в

- алгебре в зависимости от

- числа событий в исходной системе. Для примера 4 число

, следовательно, число событий в

- алгебре равно

.

Условная вероятность и вероятностное пространство

18.1. Пусть

- вероятностное пространство. Рассмотрим интерпретацию условной вероятности

события

, если известно, что произошло событие

, причем

. При этих условиях пространством элементарных событий естественно считать не

, а

, поскольку тот факт, что

произошло, означает, что речь идет лишь о тех элементарных событиях

, которые принадлежат множеству

. Среди элементарных событий

, только те из них влекут событие

, которые принадлежат

. Поскольку событие

отождествляется с множеством элементарных событий, влекущих

, то теперь (при условии, что

- произошло) событие

следует отождествлять с множеством

. Можно сказать, что множество

есть событие

, рассматриваемое с точки зрения, согласно которой пространством элементарных событий объявлено событие

.