Некоторые примеры некоммутативных алгебр (стр. 3 из 3)

Из 1-3 следует, что

- алгебра над полем .

Замечание:

- некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .

4. Алгебра Грассмана над полем

.

Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана, если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов

, обладающих свойствами:

(a) *свойство антикоммутативности*

(1)

(b) любое другое соотношение между образующими элементами

является следствием соотношения (1), в частности

Обозначение:

- алгебра Грассмана с образующими элементами.

Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.

Начнем с алгебры

. В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть .

Рассмотрим алгебру

, содержащую два образующих элемента , причем

. Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: .

Обратимся теперь к общему случаю

. Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения .

Заметим теперь, что любой моном

, где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:

(2)

где

. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.

Следствия.

1. Любой моном, содержащий ровно

сомножителей, равен с точностью до знака произведению .

2. Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента

некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами

Подсчитаем число базисных элементов.

Число образующих

равно , число мономов - числу сочетаний из элементов по 2, то есть , число мономов - числу сочетаний из элементов по 3, то есть , и так далее.

В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет

Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности

.

Список литературы.

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.

3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.

4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.