Некоторые примеры некоммутативных алгебр (стр. 2 из 3)

Доказательство:

. Следовательно, .

В частности,

.

4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть

Выражение векторного произведения через координаты.

Таблица векторного произведения векторов

Пусть заданы два вектора

и , такие, что ,

Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле:

.

Проверим, является ли векторное пространство

линейной алгеброй.

Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера,

- алгебра.

Проверим, является ли

ассоциативной алгеброй.

Следовательно,

не является ассоциативной алгеброй.

Проверим, является ли

коммутативной алгеброй.

, такие образом, .

Следовательно,

не является коммутативной алгеброй.

Замечание:

является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.

2. Множество квадратных матриц

над полем

, в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц

.

Замечание:

является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей

.

3. Тело кватернионов К над полем

. Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.

,

где

- мнимые единицы со следующей таблицей умножения:

Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:

Определение: Кватернион

называется сопряженным к .

Определение:

называется модулем кватерниона

.

Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.

Рассмотрим базис:

Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:

Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:

,

здесь

- комплексно-сопряженные числа к .

Основные свойства.

1. комплексному числу соответствует диагональная матрица;

2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица

.

3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы

.

Докажем это свойство:

Следовательно,

.

Проверим, является ли

алгеброй.

1.

- векторное пространство?

а).

- абелева группа?

1).

2).

3).

4).

Из 1) - 4) следует, что

- абелева группа.

б).

в).

г).

д).

Из а) - д) следует, что

- векторное пространство.

2.

Аналогично проверяется, что

3.

Аналогично проверяется, что

.