Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 7 из 11)

2) якщо

и

те

Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

тоді й тільки тоді, коли

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі

:

де

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі

для кожного визначимо бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що

– конгруенція на алгебрі . Нехай

Тоді

і для кожної

-арної операції маємо

Отже,

Отже,

– підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента

має місце

Таким чином, відповідно до леми 2.3,

– конгруенція на алгебрі .

Нехай

Тоді

й тому що ,

те

Якщо

, то й, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і тому що

Отже,

Отже, конгруенція

задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай

і – конгруенції на алгебрі ,

і

– ізоморфізм, певний на алгебрі .

Тоді для будь-якого елемента

відображення

визначає ізоморфізм алгебри

на алгебру , при якому

Доказ:

Очевидно, що

– ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції й ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що

, те існує конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів

, .

Але тоді легко перевірити, що

– конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай

центральний ряд алгебри

. Покажемо, що для будь-якої конгруенції на алгебрі ряд

є центральним, тобто

для кожного

. У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11 ) і леми 3.2., досить показати, що

Нехай

– конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи

, що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що

– конгруенція на алгебрі .