Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 5 из 7)

Если

, то , следовательно, .

Пусть имеет место (3) и

. Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .

4) Обозначим

. Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.

Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3 Мультикольцо

Согласно [2] алгебра

сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место = ,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:

где

,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .

Докажем,например,первое равенство.

Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу

получаем требуемое равенство.

Определение. Подалгебра

мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет место

В частности,если

-нульарная или унарная операция,то это означает,что

Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.

Теорема 3.1 [2] Пусть

-идеал мультикольца и

Тогда

-конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .

Доказательство.

Так как

то

. Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем

т.е.

т.е.

. Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем

т.е.

. Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим

Из [8] следует,что

-нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.