Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 2 из 7)

Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].

Определение 2.1. Пусть

и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует ;

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

, то .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть

. Тогда:

существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

;

если , то .

Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции

на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .

Лемма 2.2. Пусть

- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

;

, где ;

если, , либо

, либо

, то всегда ;

из всегда следует .

Доказательство. 1). Очевидно, что

- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .

2).

- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .

3). Пусть

. Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор

такой, что , для любых элементов . Тогда получим

Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).

4). Пусть

. Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

, где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.

В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).

Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры

, содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .