Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 6 из 7)

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция

универсальной алгебры

является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры

из

имеет место равенство

.

Доказательство:

Пусть

--- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .

Так как

и , то .

Обратно. Пусть

удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра

алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть

--- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией

, если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры

назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства

, где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как

, то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как

и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть

--- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .

Лемма 3.1 Конгруэнция

является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .

Доказательство:

Пусть

--- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь

--- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры

называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть

--- алгебра. Тогда

.

Доказательство:

От противного. Предположим, что

. Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.