Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 5 из 7)
Пусть
для
. Тогда 
и
Так как
--- конгруэнция, то для любой 
-арной операции 
имеем 
Очевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары
Значит,
Итак, по лемме 2.3,
- конгруэнция на 
. Покажем теперь, что 
удовлетворяет определению 2.1, то есть 
централизует . Пусть 
Тогда
Так как
, 
и 
, то 
. Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.Если
, то 
значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда
Так как
и 
, то 
, следовательно, 
. Из (2) следует, что 
, а по условию 
. Значит, 
и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .Докажем обратное включение.
Пусть
Тогда на алгебре
определена конгруэнция 
удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
, .Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
--- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что 
. Покажем поэтому, что 
централизует .Так как
то 
то есть
удовлетворяет условию 1) определения 2.1.Если
, то 
следовательно,
Пусть имеет место (3) и
.Так как
то
Из (4) следует, что
, следовательно, 
то есть
На основании леммы 2.2 заключаем, что
Следовательно,
.А так как
, то 
, то есть 
4) Обозначим
. Пусть 
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение
на 
следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
--- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.Это и означает, что
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1 Конгруэнция
универсальной алгебры 
называется фраттиниевой, если 
, для любой собственной подалгебры 
из ; Определение 3.2 Собственная подалгебра
универсальной подалгебры называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры 
выполняется 
, всегда следует, что либо 
, либо 
.