Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 4 из 7)

Тогда для любого элемента

отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором .

В частности,

.

Доказательство.

Очевидно, что

--- изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм

алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов

и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 Если

и --- факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .

Определение 2.3 Факторы

и назыавются перспективными, если либо либо

Теорема Пусть

,

,

,

--- конгруэнции на алгебре

. Тогда:

1) если

, то

2) если

, то

3) если

, и факторы , перспективны, то

4) если

- конгруэнции на и , то

где

, .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция

централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть

- изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5

, а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции

и на алгебре имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим

. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если

, то

б) для любого элемента

,

в) если

то

Построим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что

--- конгруэнция на .