Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 2 из 7)

Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества

содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.

Определение 1.9 Пусть

--- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на

, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре

перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор

, что для любых элементов

выполняется равенство

. В этом случае оператор

называется мальцевским.

Определение 1.11 Алгебра

называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что для любого .

Определение 1.12 Подалгебра алгебры

называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

Определение 1.13 Подалгебра

универсальной алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .

Определение 1.14 Пусть

и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом, если

1)

и имеет место ;

2)

, где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.

Определение 1.15 Гомоморфизм

называется изоморфизмом между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом.

Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть

- гомоморфизм,

--- конгруэнция, тогда

.

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть

--- есть

-алгебра,

--- подалгебра алгебры

и

--- конгруэнция на

. Тогда

является подалгеброй алгебры

,

--- конгруэнцией на

и

.

Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть

--- есть

-алгебра и

и

--- такие конгруэнции на

, что

. Тогда существует такой единственный гомоморфизм

, что

. Если

, то

является конгруэнцией на

и

индуцирует такой изоморфизм

.

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Определение 2.1 Пусть

и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие

.

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1 Пусть

. Тогда:

1) существует единственная конгруэнция

, удовлетворяющая определению 2.1;

2)

;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции

на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .