Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц (стр. 7 из 10)
28. Асимптоты. Опр. Если точка (x; y) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из них координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Если существует число a такое, что
, то прямая x = a является вертикальной асимптотой. Если существуют пределы 
, то прямая 
будет асимптотой (правая наклонная или, в случае K1 = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы 
, то прямая 
- асимптота (левая наклонная или, в случае K2 = 0, левая горизонтальная асимптота). График функции y = f(x) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой или левой асимптоты.30.
31) Вычисление предела 
.
Пусть X>0, угол измеренный в rad. AB=sinx, È AC=x, DC=tgx, очевидно, что AB<AC<ÈAC<DC, sinx<x<tgx, поделим обе части неравенства на sinx:
, 
(1), 
, 
, 
, 
, 
, т.к. при 
, 
, то 
, 
Þ 
, таким образом, sinx и х являются эквивалентны бесконечно малым величинам, из доказанного предела следует, что 
32. Непрерывность функции в точке и на интервале. Примеры.
Пусть ф-я y=f(x), определена на некотором интервале (a;b), пусть
, тогда ф-я y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b).Если ф-я y=f(x) является непрерывной в каждой точке интервала (a;b), то она непрерывна на интервале (a;b) из свойств lim Þ что если ф-я y=f(x) и y=g(x), являются непрерывными в точке, и на интервале (a;b), то их сумма, произведение, частное и произведение f(x) на константу k, также непрерывны в этой точке.
- докажем непрерывность этой ф-ии в некотррой точке х0: 
, 
, 
, 
, 
, 
33. Свойства ф-ий, непрерывных на отрезке.
Теорема Больцано-Коши.
y=f(x), (a;b), x0Î(a;b), для того чтобы ф-я y=f(x) была непрерывна в т. x0, необходимо и достаточно, чтобы "e>0 $d(e)>0
, 
Þ 
Первая теорема Больцано-Коши.
Пусть на отрезке
определена непрерывная ф-я y=f(x), предположим, что в точках а и b эта ф-я принимает значения разных знаков, тогда найдётся т. с, такая, что f(c)=0. 
Д-во.
Предположим для определённости, что f(b)>0. Пусьт
, если f(c1)=0, то f(a)<0, тем самым т., существование которой утверждается в теореме найдена. Если f(c)¹0, то на концах одного из отрезков (a;c1) или (c1;b), ф-я y=f(x) принимает значения разных знаков.Обозначим отрезок
и поступим с ним таким же образом, как и с отрезком , продолжим этот процесс до бесконечности. Возможны два случая:а) на каком-нибудь конечном шаге найдётся точка сn f(cn)=0, тем самым будет найдена точка существования которой утверждается в теореме.
б) "cn f(cn)¹0, рассмотрим отр.
, cnÎ , f(an)<0, f(bn)>0, l - длина , тогда длина = 
, 
образует монотонно возрастающую последовательность, а последовательность 
является ограниченной. 
, 
, 
,поэтому
, 
, f(c*)=0.Вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть на отрезке
определена непрерывная ф-я y=f(x), f(a)=A, f(b)=B, A¹B, тогда ф-я y=f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.Д-во.
Предположим для определённости, что B>A, пусть С произвольное число расположенное между А и В, тогда A<C<B. Докажем, что найдётся т. сÎ
, такая, что f(c)=C, для этого рассмотрим ф-ю j(x)=f(x)-C, тогда j(a)=f(a)-C=A-C<0, j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ y=j(x), на концах отрезка , принимает значения разных знаков. По первой теореме Больцано-Коши найдётся точка с, такая, что j(с)=0 Þ j(с)=f(c)-C=0 Þ f(c)=C 
Первая теорема Веерштрасса (19в).
Пусть на отрезке
определена непрерывная ф-я y=f(x), тогда эта ф-я является ограниченной на отрезке , $m, М,что 
, 
.Предположим, что утверждение теоремы не верно, тогда можно указать
, такую, что 
, т.к. 
является ограниченной, то из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность 
, 
, 
, что противоречит тому, что ф-я y=f(x) определена на отрезке - теорема доказана.