Аддитивные проблемы теории чисел (стр. 2 из 5)

Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº , Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. - Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ. ¨. . ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı . ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł . 1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ . ( ¨. . ´Ł ª ) ˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨. . ´Ł ª ß . ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł
cosF(x1,...,xn) + isinF(x1,...xn),
ª F(x1,...,xn) Øæ	Ł º º Łæº Œ Ł . ŒŁ Æ ,
æ Ł Łı ƺ	æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, -
º Ł	Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ . ¨. . ´Ł ª ,
Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł	Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ , º Łº ŁæŒº -
Ł º æŁº ß ŒŁ	º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ . ºŁº
´Ł ª º Ł	º ß , ƺŁ ŒŁ Œ º ß º -
ß º æ	ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ
´ Ł ª , ƺ ˆŁº Æ	˚ Œ , ƺ Œ æ ´ غ . ˜ ªŁ æº æ Ł-
Œ Łª	Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ
æ æ ß Ł Łæº Ł Ł,	æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .
1.3 ˇ ƺ	Ł - ¸Ł º .
˙ ı Ł æŁ	Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q(n) ł ŁØ Ł

p + x² + y² = n,

ª p - æ , x Ł - ºß , n - º Łæº . º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł

p − x² − y² = l,

ª l - ŁŒæŁ	º	Łæº , p 6 n(n → ∞). X. -¸.	. Æߺ	æ º ˆ.	-
Ł (G. Hardy) Ł ˜	. ¸Ł º	(J. Littlewood) 1923 Ł	ææ	Ł Ł æ
Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ	Ł	æŒŁı æ Æ ŁØ.
˜Łæ æŁ ßØ	,	Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ ,	ºŁº	Ø Ł æŁ	-
ŁŒ º ª	Ł :

,

ª

¨	º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ	æ æ
æ ßı	Łæ º Ł = x2 + y2 + l. ø Łæ æŁ ª	Ø æŁ	-
ŁŒ	º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł - ¸Ł º	p + ϕ(x,y) ª	p
- æ .	, ϕ(x,y) - Ł Ł Ł º Ł º º	Œ Ł
— ææ	Ł º ªŁ ª Ł p − ϕ(x,y) = l Ł Ł	Œ Œ º æ
Æ æŒ	æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p = ϕ(x,y) + l
	´Ł ª - ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

.

ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł - ¸Ł º , Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .

1.3.1 ´Ł ª - ` Æ Ł.

ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :

,

ª

ψ(y,k,l) = ^X = ^Xλ(n).

n6yn≡lmodk

, æ ø æ æ ß c₁ > 0 Ł c₂ > 0 ŒŁ ,

,

√^{4 logx}

ª k₀ < e = z₁− º , º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ

Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χ_k0 Œ Ø, L(s,χ_k0) Ł º Ł s =

√ 11/18 −A ∆(Q,x) 6 c(A)( xQlogx + xlogx )
Ł º Æ A. 1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø.
Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł : ,	º Ø - ƺ , Œº ø æ X τk1τk2(m + a) m6n X τk1τk2(n − m), m<n	ŁæŒ		æŁ Ł		æŒ -
ª τk(m)− Œ ºŁ æ	ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº	k	Ł		º Ø, æ Ł		Ł
Œ k1, Ł k2 > 2− -	º ß Łæº , a - ŁŒæŁ	º		Łæº ,		ºŁ -
º , n - æ	Æ º ł º Łæº . ´	æ	æ Ł, τ2(m) = τ(m) -
Łæº ºŁ º Ø º Łæº ŁØ	m. ß ß , æ æ x1x2...xk2 − y1y2...yk1 = a, x1x2...xk1 − y1y2...yk2 = n.	, Œ ºŁ æ				ł ŁØ
Ł Ł ƺ	ºŁ º Ø Ł k1 = 2 Ł º Æ	º		k2 Æߺ		ł æ
ø Łæ æŁ ª	. ´. ¸Ł ŁŒ .	Æ		ææ		º .
1.5 ˇ ƺ ºŁ	º Ø Ł ł .
ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł	ł : ?= - æ , ? = xy, x, y	º ß ;
ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł : p − xy = a,p < N, p + xy = N,p < N,x,y ∈ N ª p− æ Łæº a− ŁŒæŁ º . Æø - ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł :				ł ŁØ		º… -

. ˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,

X

τ(p − 1), p<N

ª τ(p)− Łæº ºŁ º Ø n.

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º . Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ) . ˜Łæ æŁ ßØ , Æ ßØ . ´. ¸Ł ŁŒ , º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :