Визначення емпіричних закономірностей (стр. 2 из 2)

Одержана система рівнянь називається нормальною системою Гауса. Розв’язавши її знайдемо значення

і .

; (11)

; (12)

в) Нехай функціональна залежність має такий вигляд:

. Формула (9.6) в цьому випадку запишеться так:

.

Щоб знайти значення коефіцієнтів

,

і

, при яких функція мінімальна, знаходимо часткові похідні по

, і від і прирівнюємо їх до нуля. Розв’язання одержаної системи трьох рівнянь і дають нам значення , і , при яких буде мінімальним:

Прирівнявши ці похідні до нуля і зробивши відповідні перетворення, будемо мати:

(13)

Систему (9.13) запишемо без індексів:

(14)

Розв’язок цієї системи

, і - це ті значення коефіцієнтів рівняння зв’язку другого степеня , при яких сума квадратів відхилень фактичних даних від вирівняних буде мінімальною.

, (15).

де

, (16)

, (17)

.

г) Аналогічно складається система нормальних рівнянь тоді коли зв’язок між ознаками близький до оберненого і досить добре виражається залежністю

. Система нормальних рівнянь для цього випадку буде такою:

(18)

Вирівнювання за показниковою (експонентною) функцією проводиться тоді коли ознаки з більш-менш сталим відносним приростом. Вирівнювання проводиться за формулою

. В цьому випадку параметри і визначаються за методом найменших квадратів відхилень логарифмів розв’язуванням системи нормальних рівнянь:

(19)

Приклад

На основі вихідних даних, взятих із таблиці, згідно зі своїм варіантом, побудувати математичну модель, використовуючи метод найменших квадратів.

x	0,6	1,2	1,5	2,0	3,0
y	5	8	10	12	16

Знаходимо впіввідношення

;

;

;

;

Середнє арифметичне усіх чисел становить

;

За формулою знаходимо:

Отже, залежність між y та x описується рівнянням:

y = 2,58x ;

Література

1. Белый И.В. и др. Основы научных исследований и технического творчества / И.В. Белый, К.П. Власов, В.Б. Клепиков. – Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1989 - 200 с.

2. Белуха Н.Т. Основы научных исследований в экономике. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985. - 215 с.

3. Вознюк С.Т. и др. Основы научных исследований. Гидромелиорация / Вознюк С.Т., Гончаров С.М., Ковалев С.В. - К.: Вища шк. Головное издательство, 1985 - 192 с.

4. Воловик П.М. Теорія імовірностей і математична статистика в педагогіці -Х.: Вища шк., 1969 - 222 с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е - М.: Высшая школа, 1972. – 367 с.

6. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971, 576 с.

7. Нечаев Ю.И. Основы научных исследований - Киев, Одесса: Вища шк. Головное изд-во, 1983, - 160 с.

8. Румшиский Л.Э. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971 - 192 с.

9. Сиденко В.М. Грушко И.М. Основы научных исследований. Харьков. Вища шк, 1977 - 240 с.

10. Сытник В.Ф. Основы научных исследований. К.: Вища шк. Головное изд-во. 1978 - 184 с.