Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе моделируемых дифференциальными (стр. 4 из 5)

Пусть на острове живут жертвы

(зайцы) и хищники (волки). Рассматривается математическая модель изменения величин (растительная пища для зайцев), , , (умершие волки) на основе следующих предположений:

1. Наличие зайцев

и еды для них приводит к увеличению количества зайцев, что можно записать формулой:

(6)

2. Наличие волков

и еды для них приводит к увеличению количества волков:

(7)

3. Волки умирают от болезней или старости:

(8)

4. Скорость изменения количества зайцев по формуле (6), скорость изменения количества волков по формуле (7) и скорость увеличения количеств умерших волков по формуле (8) равны соответственно:

, , , (9)

где символами

, , обозначены количества растительной пищи, зайцев и волков, а - положительные коэффициенты.

5. Скорость изменения каждого из количеств

(количество умерших волков) равна сумме скоростей изменения этих количеств в каждом из процессов (6), (7), (8), в котором соответствующая величина участвует.

Из условий 1-5 следуют уравнения Лотки (5), только символы имеют другой смысл.

Более общие модели поведения

хищников и жертв в различных эко-логических ситуациях были предложены в лекциях Вольтерры [1]. В связи с этим, уравнения Лотки (5) называют часто уравнениями Лотки-Вольтерра.

И все же большая часть работ по этой тематике посвящена даже более упрощенному по сравнению с моделью Лотки двумерному случаю, так как это позволяет применять методы фазовой плоскости для динамических систем.

Сведение модели (5) к двумерной основано на предположении, что вели-чина

постоянна. В случае модели осциллирующих химических реакций это означает, что вещества достаточно много, а в случае модели «хищник - жертва» это означает, что еды у зайцев достаточно много. Из этого предполо-жения следует, что . Так как величина входит только в послед-нее из уравнений (5), то второе и третье уравнения отделяются:

,

, (10)

где

.

2.2 Другие модели

Они излагаются в многочисленных статьях и книгах. Кроме уже предложенных ранее, дадим здесь ссылку еще на одну книгу [6].

3. Идентификация параметров модели Лотки

3.1 Дифференциальные уравнения

Задачу Коши для уравнений Лотки (5) п.2 запишем, используя более стан-дартные математические обозначения:

,

, (1)

,

,

, (2)

Задача Коши (17), (18) п.1 будет следующей:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, (3)

, , (4)

Как видим, задача Коши (1), (2), (3), (4) полиномиальная, и для ее численного интегрирования можно применять метод рядов Тейлора.

3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК

Для конкретных биологических или иных моделей проводят реальные эксперименты по определению величин

, от которых зависят функционалы типа (20) п.1.3. Каждый реальный эксперимент имеет и свои возможности (часто весьма ограниченные) и свою цену (возможно высокую) определения каждой величины .

Естественно поэтому использовать различные функционалы, зависящие от того или иного набора величин

. Мы рассмотрим три функционала. Пер-вые два из них ориентированы на различные типы экспериментов с весьма ограниченными возможностями, а третий является их обобщением.

В эксперименте первого типа, при одном и том же начальном данном

измеряются значения

(5)

одной из переменных

в различные моменты , .

В эксперименте второго типа, при начальных данных

, , из-меряются значения

, (6)

величин , в один и тот же момент времени .

В эксперименте третьего типа, при начальных данных

, , из-меряются значения

(7)

величин , в моменты времени , , .

Соответствующие функционалы равны:

, (8)