Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 7 из 12)

.

Найдем координаты преобразования

, приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду . Дифференцируя эти уравнения и подставляя в исходную систему, получаем:

откуда с учетом

,  — произвольное, ,  — произвольное. Получаем преобразование . Определим новое положение осей:

Решение системы

запишется в виде , а исходной системы отсюда . Схематическое изображение траекторий:

Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней

на плоскости возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.

Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.

Рис. 3. Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены

,

светлым — начало координат.

Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы.

Рассмотрим автономную двумерную систему

, (5)

где

— область.

Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию

с наименьшим периодом . Возьмем произвольную точку и проведем через нее нормаль к единичной длины. Для определенности считаем, что направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой ). Точки на нормали определяются единственной координатой . В качестве берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи , и это расстояние, взятое с обратным знаком, если она лежит внутри .

Рассмотрим траектории

, проходящие через точки нормали. Запишем уравнение

(6)

с неизвестными t, s ( — параметр).

Лемма 3. Существует

такое, что в области уравнение (6) имеет единственное решение , удовлетворяющее условиям , причем функции непрерывно дифференцируемы при .

Доказательство. Так как

— решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция определена и непрерывно дифференцируема по t и  в некоторой окрестности точки . Тогда функция определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Так как ‑периодична, то . Рассмотрим якобиан в точке . Имеем . Следовательно, в точке , поскольку и — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

Следствие. Справедлива формула

.

Выясним геометрический смысл функций

. Лемма 3 утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль в точке из -окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени в точке . При этом так как функция также делает полный оборот вдоль при , то траектория также делает полный оборот при , оставаясь в малой окрестности , если  достаточно мало.

Функция

называется функцией последования.

Определение. Замкнутая траектория

автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое , что является -предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестности кривой .