Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 3 из 12)

Картина расположения траекторий при

, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

вещественны и

. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

комплексно-сопряженные. Пусть

. В преобразовании X = SY

, где

— линейно независимые собственные векторы, соответствующие

. Так как А вещественна,

можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и

. Положим

, а в качестве фазовой плоскости возьмем

. Переменная

связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где

. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты

, или

. Имеем:

. Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

Следовательно,

. При

траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При

все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

Решением этой системы будет функция

. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида

(4)

где

, а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + ) = P(t), >0 при всех

. Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом  или -периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В, определяемая равенством

, называется матрицей монодромии. Для нее справедливо

. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при

фундаментальной матрицей

, то есть

Собственные числа

матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа

матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем

, при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до

. Из

и формулы Лиувилля следует, что

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число  является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение

этого уравнения такое, что при всех t

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода  тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2. Мультипликатору

соответствует так называемое антипериодическое решение

периода , т. е.

. Отсюда имеем:

Таким образом,

есть периодическое решение с периодом

. Аналогично, если

(p и q — целые,

), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом

Пусть

, где

— матрица из теоремы Флоке,

— ее жорданова форма. По теореме Флоке

, или

, (5)

где

— фундаментальная матрица,

— -периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

, (6)

где

— -периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы