Устойчивость систем дифференциальных уравнений (стр. 11 из 12)

.

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при

. Так как при при , то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия .

По теореме 3 решение

системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть

— функция Ляпунова. Обозначим через любую связную компоненту открытого множества с началом координат на ее границе.

Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова

такая, что не пусто и при . Тогда решение уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть

. Будем рассматривать решения с начальной точкой . Достаточно показать, что для каждого из этих решений можно указать момент T (для каждого решения свой) такой, что .

Пусть это неверно, т. е. существует решение

, удовлетворяющее при всех неравенству . Покажем, что траектория решения принадлежит при . Действительно, по определению она может покинуть область только через ту часть ее границы, где . Но это невозможно, так как и при возрастании функция строго возрастает, пока , в силу (3).

Итак, доказано, что при

и . Следовательно, по условию теоремы при . Интегрируя (3) от до , получаем

,

что противоречит ограниченности

при . Противоречие доказывает теорему.

Пример. Рассмотрим уравнение

, где — удовлетворяющая условию Липшица при функция такая, что при . Докажем неустойчивость решения .

Рассмотрим систему

, соответствующую уравнению примера. В качестве функции Ляпунова возьмем . Имеем:

.

По теореме 4 решение

системы неустойчиво, что и требовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (8)

где

— заданная квадратичная форма.

Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию

, (9)

то уравнение (8) имеет единственное решение

, являющееся квадратичной формой.

В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения

(10)

и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.

Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части,

— определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение , являющееся определенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать

такое, что существует единственное решение уравнения

,

причем если

— определенно-положительная квадратичная форма, то область для квадратичной формы непуста.

Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого

(11)

где

удовлетворяет условию

(12)

равномерно по

.

Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и

удовлетворяет условию (12), то решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).

Пусть

— квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению

.

По лемме 2

определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из (2) и (11) имеем: . Отсюда получаем:

. (13)

Из (12) следует, что для любого

можно указать такое, что при выполняется . Так как — квадратичная форма, то , , и . Очевидно также, что . Из (13) и записанных неравенств следует, что . Следовательно, DV — определенно-отрицательная функция при , если a выбрать по . Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.