Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 8 из 15)
Ответ:
.Пример 35 Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
Отсюда получаем уравнение
Пусть
, тогда уравнение принимает вид 
Так как функция
является убывающей на всей числовой оси 
, то (согласно Следствию ) уравнение равносильно уравнению 
, т.е. уравнение равносильно уравнению 
. Отсюда следует уравнение 
, которое имеет единственный действительный корень 
.Ответ:
. 
Решение. Поскольку
при всех 
, то областью допустимых значений уравнения является множество всех действительных чисел.Положив
, 
и 
, увидим, что заданное уравнение принимает вид 
, где 
и 
. Так как из 
следует, что
то функция
является возрастающей на области значений функций 
и 
. В этой связи уравнение равносильно уравнению 
и, следовательно, имеет два корня 
.Ответ:
.6. Методы, основанные на применении векторов
Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.
Вектор
в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами 
, 
, 
и модуль (длина) вектора 
вычисляется по формуле 
. Суммой (разностью) двух векторов 
и 
называется вектор 
, координаты которого вычисляются как 
(соответственно, 
).Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.
Для векторов
и 
справедливо неравенство 
, т.е.
Формула обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула иначе называется неравенством треугольника.
Следует особо отметить, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда векторы
и 
коллинеарные. В частности, из равенства в следует, что 
. Причем равенство 
имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. 
.В свою очередь, равенство
свидетельствует о том, что векторы 
, 
противоположно направлены и 
. Скалярным произведением 
векторов 
и называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле 
где
--- угол, образованный векторами 
и .Для вычисления скалярного произведения двух векторов
и 
, заданных в координатной форме, существует еще одна формула 
Из формул и легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами
и 
, т.е
Из формулы следует, что векторы
, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда 
.Отметим, что формулы -- обобщаются на случай векторов
и 
, заданных в 
-мерном пространстве (где 
).