Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 7 из 15)

Поскольку

, то из последнего неравенства получаем .

Так как

--- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы , следует справедливость теоремы .

Следствие 28 Если функция

убывает для любого

и

--- нечетное, то уравнения и

равносильны.

Следствие 29 Если функция

убывает на своей области определения и

--- нечетное, то уравнения и

равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция

является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение также имеет не более одного корня.

Если в уравнении

--- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 30 Если

--- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и

равносильны.

Доказательство. 1) Пусть

--- корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть

--- корень уравнения , т. е. . Отсюда следует .

Следствие 31 Если

--- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций

и

, то уравнения и

равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция

является четной.

Теорема 32 Если четная функция

определена на отрезке

и возрастает (или убывает) при

, то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений

и

при условии, что

и

.

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции

, т.е. если , то .

Анализ функции

на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и ( ), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 33 Решить уравнение

где квадратный корень берется

раз ( ).

Решение. Из условия задачи следует, что

. Пусть , тогда уравнение принимает вид функционального уравнения .

Так как при

функция возрастает и , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ:

.

Пример 34 Решить уравнение

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е.

где

.

Поскольку

для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.