Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 7 из 15)
Поскольку
, то из последнего неравенства получаем 
.Так как
--- убывающая функция, то 
, т.е. 
. Получили противоречие тому, что по предположению 
. Следовательно, 
.Отсюда, с учетом теоремы , следует справедливость теоремы .
убывает для любого 
и 
--- нечетное, то уравнения и 
равносильны. 
убывает на своей области определения и 
--- нечетное, то уравнения и 
равносильны. Так как в рассмотренных выше случаях функция
является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение с убывающей функцией и нечетным 
равносильно уравнению , то уравнение также имеет не более одного корня.Если в уравнении
--- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения и 
не являются равносильными. Например, уравнение 
имеет три корня 
, 
, 
и только третий корень удовлетворяет уравнению 
.В данном случае для поиска корней уравнения необходимо проводить дополнительные исследования.
--- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и 
равносильны. Доказательство. 1) Пусть
--- корень уравнения , т.е. 
. Предположим, что 
не является корнем уравнения 
, т.е. 
. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что 
. Отсюда в зависимости от того, какой является функция 
на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство 
или 
, соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, 
.2) Пусть
--- корень уравнения 
, т. е. 
. Отсюда следует 
. --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций 
и 
, то уравнения и 
равносильны. Также следует отметить, что при решении функционального уравнения необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция
является четной.Теорема 32 Если четная функция
определена на отрезке 
и возрастает (или убывает) при 
, то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений 
и 
при условии, что 
и 
. Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции
, т.е. если 
, то 
.Анализ функции
на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке 
и 
( 
), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.Задачи и решения
Пример 33 Решить уравнение
где квадратный корень берется
раз ( 
).Решение. Из условия задачи следует, что
. Пусть 
, тогда уравнение принимает вид функционального уравнения .Так как при
функция 
возрастает и 
, то уравнение равносильно уравнению , т.е. 
, положительным решением которого является 
.Ответ:
.Пример 34 Решить уравнение
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е.
где
.Поскольку
для любого значения 
, то функция 
является возрастающей на всей числовой оси 
. Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение 
, для которого 
является решением.