Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 6 из 15)
Уравнение имеет очевидный корень
. Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения на 
, тогда 
Так как
, а 
, то левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что 
--- корень уравнения . Следовательно, этот корень единственный.Таким образом, имеем
. Тогда единственным корнем уравнения является 
.Ответ:
. 
Решение. Разделим обе части уравнения на
, тогда
Подбором нетрудно установить, что
является корнем уравнения . Покажем, что других корней это уравнение не имеет.Обозначим
и 
. Очевидно, что 
. Следовательно, каждая из функций 
и 
является убывающей и при этом 
.Если
, то 
, 
и 
.Если
, то 
, 
и 
.Следовательно, среди
2 или 
корней уравнения нет.Ответ:
.5. Методы решения функциональных уравнений
К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида
или
где
, 
, 
--- некоторые функции и 
.Методы решения функциональных уравнений , основаны на использовании следующих теорем.
Теорема 23 Корни уравнения 
являются корнями уравнения
Доказательство. Пусть
--- корень уравнения 
, т.е. 
. Тогда справедливы равенства 
Отсюда следует, что
т.е.
является корнем уравнения .Теорема 24 Если 
--- возрастающая функция на отрезке 
и 
, то на данном отрезке уравнения и 
равносильны.
Доказательство. Пусть
является корнем уравнения , т.е. 
. Предположим, что не является корнем уравнения 
, т.е. 
. He нарушая общности рассуждений, будем считать, что 
. Тогда в силу возрастания функции 
справедливы неравенства 
Так как
, то из приведенных выше неравенств следует 
. Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что 
.Отсюда и из теоремы следует справедливость теоремы .
Следствие 25 Если функция возрастает для любого 
, то уравнения и равносильны.
Следствие 26 Если функция 
возрастает на своей области определения, то уравнения и 
равносильны.
Более сложным является решение уравнения в том случае, когда на некотором отрезке
функция является убывающей.В данном случае имеют место аналоги теоремы и двух следствий только при условии, что в уравнении число
нечетное.Теорема 27 Если --- убывающая функция на отрезке 
, 
--- нечетное и 
, то на данном отрезке уравнения и 
равносильны.
Доказательство. Пусть
является корнем уравнения , т.е. 
Предположим, что
не является корнем уравнения 
, т.е. 
. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что 
. Тогда в силу убывания функции на отрезке 
получаем неравенства 
, 
, 
, и т. д.Так как
--- нечетное, то 