Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 5 из 15)

Тогда

.

Отсюда следует справедливость неравенства .

Пример 18 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами

,

,

и диагональю

имеет место неравенство

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского , тогда

.

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде

(теорема Пифагора), то . Отсюда следует справедливость неравенства . Заметим, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 19 Пусть

--- точка, лежащая внутри прямоугольника

, и

--- его площадь. Доказать, что

Доказательство. Через точку

, лежащую внутри прямоугольника , проведем и . Обозначим , , и . Тогда , , , , и требуемое неравенство принимает вид

Используя неравенство Коши--Буняковского , можно записать два неравенства

и

Следовательно, имеет место

и

Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство .

4. Методы, основанные на монотонности функций

При решении уравнений типа

в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение на отрезке может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция

называется возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство (соответственно, ). Если функция является на отрезке возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения

необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция возстает, a убывает для и при этом , то корней уравнения среди нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения представляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция является монотонной на отрезке и уравнение (где --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 20 Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются

. Рассмотрим функции и . Известно, что функция для является убывающей, а функция --- возрастающей. В этой связи уравнение может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.

Ответ:

.

Пример 21 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную

. Тогда , и уравнение принимает вид