Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 4 из 15)

если

, то

где

.

Следует отметить, что равенства в и имеют место только при

. Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных

и имеет место

где

.

Причем равенство в достигается в том и только в том случае, когда числа

. и пропорциональны, т.е. существует константа такая, что для всех выполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского можно доказать неравенство

которое справедливо для произвольных

, и натурального числа .

Задачи и решения

Пример 11 Доказать неравенство

где

.

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства , т.е.

Так как по условию

, то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство .

Пример 12 Доказать, что если

, то

Доказательство. Введем обозначения

и . Тогда и .

Используя неравенство Коши-Буняковского , можно записать

. Так как , то и .

Имеет место равенство

, из которого следует .

Следовательно, для доказательства неравенства достаточно показать, что

или , где .

Пусть

. Для доказательства неравенства требуется показать, что , где .

Так как

, то корни уравнения являются точками, подозрительными на экстремум функции . Уравнение имеет два корня: , . Поскольку , , , то .

Отсюда следует, что неравенство доказано.

Пример 13 Доказать, если

, то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли , а затем неравенством Коши , тогда

Пример 14 Решить уравнение

Решение. Используя неравенство Коши , можно записать

т.е. имеет место неравенство

Отсюда и из уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда

и .

Следовательно, имеем

и .

Ответ:

, ; , ; , ; , .

Пример 15 Решить уравнение

Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли , а к правой части --- неравенство , тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения , обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда

.

Ответ:

.

Пример 16 Доказать неравенство

где

, .

Доказательство. Непосредственно из неравенства следует

. Используя это неравенство и неравенство Коши , получаем неравенство следующим образом:

Пример 17 Доказать, что

где

, , --- стороны треугольника, a --- его площадь.

Доказательство. Известно, что

, где --- угол между сторонами и . Поскольку , то . Используя неравенство Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника вида . По аналогии с изложенным выше имеет место и .