Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 3 из 15)
Ответ:
, 
и 
.Пример 9 Решить уравнение
Решение. Нетрудно видеть, что
Выполним замену
, где 
. В таком случае левая часть уравнения принимает вид 
а из уравнения следует тригонометрическое уравнение вида
Сделаем еще одну замену переменных, пусть
, тогда 
и из получаем квадратное уравнение относительно переменной 
, т.е. 
, решением которого являются 
и 
. Так как 
и , то 
и 
. С учетом того, что 
, получаем систему тригонометрических уравнений 
Из уравнений системы составим квадратное уравнение относительно
вида 
и получаем 
и 
. Так как 
, то 
и 
Ответ:
, .Пример 10 Решить систему уравнений
Решение. Поскольку
и 
, то положим 
и 
, тогда 
и 
. Тогда 
и 
. В таком случае 
, 
и система уравнений принимает вид
Из первого уравнения системы получаем
. Поскольку 
, то 
, Следовательно, получаем систему 
Отсюда следует
и 
. Так как 
и 
, то 
и 
.Ответ:
, 
.3. Методы, основанные на применении численных неравенств
Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.
Неравенство Коши
Пусть
, 
, ..., 
, тогда 
где
. Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда 
. В частности, если в положить 
, то 
Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в положить
и 
, где 
, то 
Здесь неравенство равносильно равенству лишь при
.Следует отметить, что имеется аналог неравенства для отрицательных значений
, а именно, если 
, то 
Данное неравенство превращается в равенство при
.Неравенство Бернулли
Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если
, то для любого натурального 
имеет место 
Причем равенство в достигается при
или 
.Наряду с существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если 
или 
, то
