Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 2 из 15)

Ответ:

, .

Пример 5 Решить уравнение

Решение. Первоначально убедимся, что

не является корнем уравнения . Так как , то разделим обе части уравнения на . Тогда получим

Пусть

, тогда

и из уравнения следует

или . Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что и .

Далее, рассмотрим три уравнения

, и . Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 6 Решить неравенство

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства на

и обозначим через . Тогда неравенство можно переписать как

и

Решая неравенство с учетом того, что

, получаем . Поскольку , то .

Ответ:

.

Пример 7 Решить уравнение

Решение. Выполним замену переменных, пусть

и . Так как и , тo . Кроме того, имеем .

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

Пусть теперь

и , тогда из системы уравнений следует и . Отсюда с учетом того, что , получаем и . Следовательно, имеет место , и .

Поскольку

и , то и , где --- целое число.

Ответ:

, где --- целое число.

2. Метод тригонометрической подстановки

К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной

тригонометрической функцией, например или , а также в замене некоторой функцией от , или .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 8 Решить уравнение

Решение. Поскольку

не является корнем уравнения , то разделим обе его части на . Тогда

Если

или , то левая часть уравнения будет больше , а правая его часть --- меньше . Следовательно, корни уравнения находятся на отрезке .

Пусть

, где . Тогда уравнение принимает вид тригонометрического уравнения

Решением уравнения

являются , где --- целое число. Однако , поэтому , и . Так как , то , и .