Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 14 из 15)
Ответ:
и 
.Пример 57 Решить уравнение
Решение. Рассмотрим последовательно три случая.
Если
, то 
и 
, т.е. решением уравнения могут быть только 
.Пусть
, тогда из уравнения следует, что 
. Так как 
и 
, то получаем систему неравенств 
Решением данной системы неравенств являются
.Если
, то 
и 
. Следовательно, уравнение не имеет корней среди 
.Ответ:
.Пример 58 Решить уравнение
Решение. Используя свойство , можно записать
Так как
, то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим 
Отсюда, принимая во внимание уравнение , следуют неравенства
Поскольку в этом случае
следует, что 
или 
. Так как 
--- целое число, то отсюда получаем, что 
или 
. Следовательно, имеем 
.Из уравнения следует, что
--- целое число. Так как 
, то остается лишь проверить целые значения от 
до 
. Нетрудно установить, что решениями уравнения являются 
, 
и 
.Ответ:
, 
, .Пример 59 Решить уравнение
Решение. Из формулы следует, что
. В этой связи уравнение можно переписать, как 
.Отсюда следует уравнение
Очевидно, что
является корнем уравнения . Положим, что 
. Тогда разделим обе части уравнения на 
и получим уравнение 
Рассмотрим последовательно несколько случаев.
Если
, то 
и 
. В таком случае 
.Если
, то 
и 
.Если
, то 
и 
, тогда 
.Если
, то 
, 
и . Отсюда следует, что уравнение корней не имеет.Следовательно, уравнение имеет единственный корень
.Ответ:
.Пример 60 Решить уравнение
Решение. Решая тригонометрическое уравнение , получаем
где
--- целое число. Из уравнения получаем совокупность двух уравнений 
или 
. Левые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случая 
в первом уравнении) принимают иррациональные значения.Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что
. В этом случае получаем уравнение 
, откуда следует 
или 
.Ответ:
.Пример 61 Решить уравнение
Решение. Левая часть уравнения принимает только целые значения, поэтому число
является целым.Так как
, то при любом целом многочлен 
представляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой оси 
целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочлен делится на 
без остатка, т.е. 
является целым числом.В этой связи
и уравнение принимает вид 
или