Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 13 из 15)

Пример 54 Решить систему уравнений

Решение. Обозначим

и . Тогда из первого уравнения системы следует, что .

Преобразуем второе и третье уравнения системы следующим образом:

Из второго уравнения системы следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1) Пусть

. Тогда , а из первого уравнения системы получаем . Так как и , то имеет место система уравнений

из которой следует

, , и , , .

2) Пусть

, тогда . Если данрое выражение для подставить в первое уравнение ситемы , то получим квадратное уравнение относительно переменной вида , которое имеет два корня и .

Если

, то и из первого уравнения системы получаем . В таком случае

и

, , , , , .

Если

, то , и

Отсюда следует

, , , , , .

Ответ: См. выше.

Пример 55 При каких значениях параметра

система неравенств

имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств переменные

, входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде и , где .

Подставим

в любое из неравенств системы , тогда или . Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е. , и .

Ответ:

.

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа

(или Антье) называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается через . Очевидно, что . Разность называется дробной частью числа (или Мантисса) и обозначается через . Из определения следует, что . Кроме того, справедливо равенство

Например, имеет место

, , , и , , .

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел

имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа

справедливо

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.

Задачи и решения

Пример 56 Решить уравнение

Решение. Поскольку

является целым числом, то --- тоже целое число. Следовательно, число также является целым. В таком случае и уравнение принимает вид или . Целыми корнями последнего уравнения являются и .