Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 12 из 15)
Если
и 
, то 
. Так как ранее было установлено, что 
, то 
.Ответ:
, 
. 
Решение. Областью допустимых значений уравнения являются
.Первоначально покажем, что функция
при любых 
может принимать только положительные значения.Представим функцию
следующим образом: 
.Поскольку
, то имеет место 
, т.е. 
.Следовательно, для доказательства неравенства
, необходимо показать, что 
. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда 
Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что
. Если при этом еще учесть, что 
, то левая часть уравнения неотрицательна.Рассмотрим теперь правую часть уравнения .
Так как
, то 
.Однако известно, что
. Отсюда следует, что 
, т.е. правая часть уравнения не превосходит 
. Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при 
.Ответ:
.9. Методы решения симметрических систем уравнений
В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида
и
Метод решения системы состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда
заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы , в результате чего получается система уравнений
При решении системы уравнений необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем
Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие
. Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы , то получаем две системы уравнений относительно 
, 
, 
вида 
Полученные системы уравнений относительно
, 
, 
допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений , . Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.
Задачи и решения
Пример 52 Решить систему уравнений
Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы прибавить 1, то получаем
Из последней системы уравнений следует
Пусть
, тогда 
и
, 
, 
.Если
, то по аналогии с предыдущим получаем 
, 
, 
.Ответ:
, 
, 
; , 
, 
.Пример 53 Решить систему уравнений
Решение. Из первого уравнения системы вычем второе уравнение, тогда
. Умножим на 
обе части последнего уравнения и получим 
откуда следует
. В таком случае первое уравнение системы принимает вид 
. Следовательно, 
.Так как 
, тоОтвет:
, 
, 
; 
, 
, 
.