Нестандартные методы решения задач по математике (стр. 11 из 15)

где

и .

Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом:

Так как

, то . Отсюда получаем или . Рассмотрим две системы

Корнями первой системы являются

, и , , а вторая система решения не имеет. Следовательно, или . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной вида и . Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует и . Ответ: , .

Пример 47 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если

, то . Тогда уравнение можно переписать как

Поскольку

, то из уравнения получаем ; т.е. и .

Так как уравнения и равносильны, то решением уравнения являются

и .

Ответ:

, .

Пример 48 Доказать неравенство

где

и .

Доказательство. Доказательство неравенства будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения

и , что и , при которых выполняется неравенство

Из неравенства получаем

Так как

, и , то из неравенства следует

Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства .

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что

, , , , , , , , , , , и многие другие. Здесь --- натуральное число, , и .

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства

, и неравенства с модулями вида .

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе .

Задачи и решения

Пример 49 Решить уравнение

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е.

. Отсюда следует, что . Так как при этом , то из получаем систему уравнений

Решением второго уравнения системы является

. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы уравнений и уравнения .

Ответ:

.

Пример 50 Решить уравнение

Решение. Обозначим

, тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как

, то из уравнения следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .