Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 7 из 16)

Рис. 28

Пусть центр малой окружности в её плоскости – точка Q, радиус её – число ρ, а М – произвольная точка этой окружности (рис.28), т.е. ОМ=r, QM=ρ, а ÐМОQ=

. Тогда из прямоугольного треугольника OQM мы найдём, что ρ= , т.е. длина окружности сферического радиуса R равна

.

С другой стороны, так как

, то длина окружности параметра Р равна

.

Так как сферический круг, ограничиваемый окружностью сферического радиуса R, представляет собой сферический сегмент высоты

,

а площадь всякого сферического слоя высоты h равна 2prh, где r – радиус сферы, то площадь сферического круга радиуса R равна

.

§6 Геометрические места точек на сфере

Простейшие геометрические места точек, рассматриваемые в геометрии на плоскости, распространяются и на случай сферы.

Геометрическое место I. Геометрическое место точек сферы, сферические расстояния которых от данной точки Р сферы равны одной и той же дуге большого круга r, есть малая окружность с полюсом Р и сферическим радиусом r.

Геометрическое место II. Геометрическое место точек сферы, сферические расстояния которых от данной большой окружности равны одной и той же дуге а (меньшей квадранта), есть пара равных малых окружностей с полюсами в полюсах данной большой окружности и сферическим радиусом, дополняющим дугу а до квадранта.

Геометрическое место III. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от двух точек А и В этой сферы, есть большая окружность, перпендикулярная к дуге АВ и проходящая через середины обеих дуг, имеющих точки А и В, своими концами.

Геометрическое место IV. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от двух больших окружностей, состоит из двух взаимно перпендикулярных больших окружностей, делящих пополам углы между данными большими окружностями.

Ещё одно геометрическое место точек на сфере не имеющее аналогии в геометрии на плоскости.

Геометрическое место V. Геометрическое место полюсов больших окружностей, касающихся данной малой окружности, состоит из двух диаметрально противоположных малых окружностей; полюсы которых совпадают с полюсами данной малой окружности; сферический радиус каждой из них дополняет до квадранта сферический радиус данной малой окружности, меньший квадранта.

Действительно, пусть Р – полюс данной малой окружности, которой соответствует её радиус r, меньший квадранта. Так как расстояние точки Р от точки касания данной малой окружности с какой-либо большой окружностью равно r, то расстояние той же точки Р от одного из полюсов этой большой окружности дополняет дугу r до квадранта.

Теорема 8. Геометрическое место третьих вершин сферических треугольников, у каждого из которых две вершины совпадают соответственно с двумя данными точками и разность между углом при третьей вершине и суммой углов при данных вершинах имеет заданную величину, состоит из двух дуг, принадлежащих различным окружностям.

Доказательство: Пусть В и С – две данные вершины, А – третья вершина; предположим, что дана величина ÐВ + ÐС - ÐА. Пусть далее О (рис.29) один из полюсов окружности, описанной около треугольника: покажем, что точка О неподвижна.

Так как треугольник ОВС равнобедренный, то дуги больших окружностей ОВ и ОС образуют со стороной ВС углы, равные по абсолютной величине, но имеющие противоположные знаки. Пусть a - первый из этих углов; следовательно,

a = ÐСВО = - ÐВСО;

Пусть точно также

b = ÐАСО = - ÐСАО,

g = ÐВАО = - ÐАВО.

Если расположение треугольника таково, что угол ВАС положителен, то будем иметь с точностью до целых окружностей:

ÐА = b + g,

ÐВ = g + a,

ÐС = a + b,

и, следовательно, ÐВ + ÐС - ÐА = 2a,

или иначе:

это равенство даёт величину a и, следовательно, позволяет определить положение точки О. Давая a два значения, отличающихся одно от другого на полуокружность, будем иметь для этой точки два диаметрально противоположных положения, которые будут определять два полюса одной и той же окружности.

Рис. 29

Наоборот, если сделать относительно расположения треугольника предположение, противоположное тому, которое было сделано ранее, то получим другую окружность; то же самое будет и в том случае, если изменить знак разности ÐВ+ÐС-ÐА.

Теорема Лекселля (Lexell). Если даны площадь сферического треугольника и две его вершины, то геометрическое место третьих вершин состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки, диаметрально противоположные двум данным вершинам.

Доказательство: Пусть А и В – данные вершины, С – третья вершина, А′ и В′ - точки диаметрально противоположные точкам А и В.(рис.30)

Рис. 30

Сумма ÐА+ÐВ+ÐС углов треугольника АВС известна; но углы СА′В′ и СВ′А′ треугольника А′В′С соответственно равны ÐСАВ′ и ÐСВА′, т.е. углам, пополнительным углам А и В. Таким образом, сумма ÐА+ÐВ+ÐС может быть записана в виде ÐС+2p-ÐСА′В′-ÐСВ′А′. Следовательно, известна величина ÐСА′В′+ÐСВ′А′-ÐС′ и геометрическое место точек С состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки А′ и В′.

§7 Тригонометрия

7.1. Сферическая теорема косинусов

Рассмотрим произвольный сферический треугольник АВС. Сферическая теорема косинусов аналогична теореме косинусов плоской тригонометрии.

Предположим сначала, что каждая из сторон b и с сферического треугольника АВС меньше

. Проведём из точки А касательные АМ и AN к сторонам с и b и найдём точки М и N пересечения этих касательных с продолжениями радиусов ОВ и ОС (рис.31);эти точки пересечения существуют, так как , по предположению, каждый из углов АОС, АОВ меньше . Тогда угол А равен углу MAN, и для плоского треугольника MAN в силу плоской теоремы косинусов получаем

MN² = AN² + AM² – 2AN AM cosA. (1)

Рис. 31

С другой стороны, углы ВОС, АОС и АОВ, являющиеся центральными углами больших окружностей сферы, опирающимися на дуги a, b, c, соответственно равны

, и . Поэтому из треугольника OMN находим

MN² = OM² + ON² – 2OMONcos

. (2)

Сравнивая (1) и (2), получаем

OM² + ON² – 2OM ON cos

= AN² + AM² – 2AN AM cosA. (3)

Из прямоугольного треугольника ОМА находим, что

OM² – AM² = OA²,

, , (4)

а из прямоугольного треугольника ONA находим, что

ON² – AN² = OA²,

, , (5)

В силу первых формул (4) и (5) равенство (3) можно переписать в виде

2OM ON cos

= 2OA² + 2AN AN AM cosA,

т.е.

OM ON cos

= OA² + AN AM cosA. (6)

Разделив (6) на произведение OMON, получим

или, в силу вторых и третьих равенств (4) и (5),

(7)