Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 6 из 16)

,

т.е.

. (1)

Рис. 24 Рис. 25

Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 25). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с углом В и два – с углом С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S(D) треугольника АВС, т.е.

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(D).

Так как

S(A)=2r²A, S(B)=2r²B, S(C)=2r²C,

То мы получаем

4r²(A+B+C)=4pr²+4S(D),

т.е.

S(D)=r²(A+B+C-p). (2)

Так как величины S(D) и r² положительны, то величина А+В+С-p также положительна, откуда следует, что

А+В+С>p,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина А+В+С-p называется угловым избытком сферического треугольника.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями

где, а', b', с' – стороны полярного треугольника, мы получим неравенство

а'+ b'+ с'< 2pr,

показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.

§4 Сферические многоугольники

4.1. Понятие сферического многоугольника и его свойства.

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника.

Меньшая дуга большого круга, которая соединяет точки M и N, лежащие внутри многоугольника или на его периметре, целиком лежит в области R, т.е. внутри многоугольника. Сферические многоугольники классифицируются, как и плоские многоугольники, по числу их сторон; наиболее простым из них является сферический треугольник. Сферический двуугольник не является многоугольником, так как каждая его сторона равна полуокружности, а не меньше её.

Связь между сферическими многоугольниками и многогранными углами. Каждому сферическому многоугольнику соответствует многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, а рёбрами – прямые, соединяющие центр с вершинами многоугольника.

Линейные углы двугранных углов многогранного угла равны, углам многоугольника. Обратно, всякий многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, пересекает последнюю по сферическому многоугольнику.

Отсюда следует, что из каждого свойства, касающегося плоских углов и двугранных углов многогранного угла, можно вывести некоторое свойство, касающееся сторон и углов соответствующего сферического многоугольника.

Теорема 6. Если некоторый выпуклый сферический многоугольник расположен внутри какого-либо сферического многоугольника (причём оба многоугольника могут иметь одну или несколько общих вершин или сторон), то периметр объемлемого многоугольника меньше периметра объемлющего многоугольника.

Доказательство: Пусть ACDB – выпуклый многоугольник и AC′D′EFB – объемлющий его многоугольник (рис.26) Продолжим стороны АС и СD в одном и том же направлении АСDB, т.е. сторону АС за точку С, а сторону CD – за точку D. Эти продолжения пересекут стороны объемлющего многоугольника соответственно в точках G и H. Путь ACDB короче пути ACHB, т.е. они имеют общую часть ACD, а остающаяся часть DB первого короче остающейся части DHB второго. В свою очередь, путь ACHB меньше чем ABD′EFB, так как, отбрасывая общие части АС, НВ, получим отрезок СН, который короче CGD′EFH. Наконец, точно также AGD′EFH, меньше AC′D′EFB, так как AG меньше AC′G. Таким образом, имеем:

ACDB<ACHB<AGD′EFB<AC′D′EFB

Рис. 26

Доказательство сохраняет силу и в том случае, если объемлющий многоугольник заменить совокупностью двух больших полуокружностей.

Теорема 7. Периметр выпуклого сферического многоугольника меньше большой окружности.

Доказательство: Пусть дан сферический треугольник АВС, а точка А′ - точка диаметрально противоположная точке А. Тогда ВС<ВА′+А′С или ВС<4d-AB-AC. Откуда и следует, что ВС+АВ+АС<4d, где d – прямой угол.

Случай многоугольника, имеющего любое число сторон, постепенно сводится к случаю треугольника; с этой целью продолжают две стороны многоугольника, смежные с одной и той же его стороной, так что число сторон уменьшается на единицу. Этот путь доказательства вполне соответствует цепи тех построений на сфере, которые изображены на рис.27.

Рис. 27

4.2. Площадь сферического многоугольника.

Соединим одну из вершин выпуклого сферического n-угольника дугами больших окружностей со всеми другими вершинами этого многоугольника, получим n-2 сферических треугольника. Площадь выпуклого сферического n-угольника равна сумме площадей этих n-2 сферических треугольников. Поэтому, так как сумма углов всех n-2 сферических треугольников равна сумме углов сферического n-угольника, площадь S_n выпуклого сферического n-угольника равна

S_n=r²(å_n-(n-2)p),

где å_n-сумма всех его внутренних углов.

Эта формула остаётся справедливой и для невыпуклых сферических многоугольников.

§5 Малые окружности

Сечение сферы плоскостью, не проходящей через её центр, является малой окружностью. Так как все три точки сферы определяют единственную плоскость, то через всякие три точки сферы, не лежащие на большой окружности, можно провести единственную малую окружность. Действительно, пусть А, В, С – три точки данной сферы, не лежащие на одной большой окружности. Через них проходит единственная плоскость АВС. Плоскость АВС пересекает сферу, и притом по малой окружности, проходящей через точки А, В, С, так как данные точки не лежат по условию на одной большой окружности. Эта малая окружность единственна, так как плоскость АВС единственная.

Так как плоскость делит пространство на две области, то малая окружность делит сферу на две области, называющиеся сферическимисегментами. Та из этих областей, которая не выходит за пределы полусферы, называется сферическим кругом.

Так как при повороте вокруг диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости, высекающей из сферы малую окружность, эта окружность переходит в себя (ибо этот перпендикуляр является осью рассматриваемой окружности), то сферическое расстояние точек окружности от концов перпендикулярного ей диаметра сферы, постоянна. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её точки, переходит в себя при повороте вокруг диаметра, проходящего через эту точку, т.е. является малой окружностью (высекаемой из сферы плоскостью, перпендикулярной этому диаметру). Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной точки сферы; эти точки равно отстоят и от диаметрально противоположной ей точки. Та из этих точек, для которой сферическое расстояние её от точек малой окружности меньше

, называется сферическим центром малой окружности, а сферическое расстояние точек малой окружности до её сферического центра называется сферическим радиусом малой окружности. Очевидно, что сферический центр малой окружности принадлежит ограничивающему его сферическому кругу. Полюсы больших окружностей можно также рассматривать как сферические центры этих окружностей; сферическим радиусом большой окружности следует считать число .

Так как большие окружности, проходящие через центр малой окружности, перпендикулярны поляре центра малой окружности, то расстояние от точек малой окружности до этой большой окружности равно дополнению сферического радиуса окружности до

. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её большой окружности и расположенных по одну сторону от неё, является геометрическим местом точек, равноотстоящих от одного её полюса, т.е. является малой окружностью. Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной большой окружности и расположенных по одну сторону от неё. Эта большая окружность называется базой малой окружности, а расстояние точек малой окружности до базы называется параметром малой окружности. Очевидно, что сферический радиус R и параметр Р малой окружности составляют в сумме . На рис. 28изображены центр и база малой окружности.